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- 組み合せと場合の数について教えてください！
１，１，２，２，３，３、・・・・・・・・n,nの２n個を、２個ずつのn組に分ける方法は何通りありますか。 例えば、n＝３の時は、（１、１）（２、２）（３、３）、、、（１、１）（２、３）（２、３）、、、（１、２）（１、２）（３、３）、、、（１、３）（１、３）（２、２）、、（１、２）（１、３）（２、３） の５通りとなります。 自分は以下のように考えましたが、最後の漸化式が解けませんでした。 まず題意を満たす場合の数をa(n)とし、また１,１,２,２・・・・・n,n,r,sの２（n＋１）個を、２個ずつのn+1組に分ける場合の数をb(n)とします。 a(n+3)について考えると（n≧１）、 （i)(n+3,n+3)と組みにしたとき、残りの分け方はa(n+2)通り。 （ii)(n+3,k)(n+3,k)と組みにしたとき（１≦k≦n+2),残りの分け方はa(n+1)通り。 （iii)(n+3,j)(n+3,k)と組みにしたとき（１≦ｊ＜ｋ≦ｎ+２）、ｊとｋの選び方はｎ+２C２通りで、残りの分け方はb(n)通り。 （i)(ii)(iii)より、a(n+3)=a(n+2)+(n+2)×a(n+1)+ｎ+２C２×b(n),(n≧１）・・・・・・・(1) b(n+1)について考えると(n≧１）、 （i)（r,s)と組みにしたとき、残りの分け方はa(n+1)通り。 （ii)(r,k)と組にしたとき(1≦ｋ≦ｎ+１）、残りの分け方はb(n)通り。 （i)(ii)より、b(n+1)=a(n+1)+(n+1)×b(n),(n≧１）………(2) (1)(2)からa(n)を消去すると ２×b(n+3)－２×（n＋４）×b(n+2)+(n+2)(n+1)b(n)=0,(n≧１）・・・・・・・(3) (1)(2)からb(n)を消去すると ２×a(n+3)－２×（n＋３）×a(n+2)+(n+2)(n+1)a(n)=0,(n≧１）・・・・・・・(4) 上の問題はあるテキストの問題から考えました。そのテキストでは同じ数字を区別してやっていたのでわりとやりやすかったのですが、区別しないとどうなるだろうと考えたのが上の問題です。数学が得意な方よろしくお願いします。
- 組み合せと場合の数について教えてください！
１，１，２，２，３，３、・・・・・・・・n,nの２n個を、２個ずつのn組に分ける方法は何通りありますか。 例えば、n＝３の時は、（１、１）（２、２）（３、３）、、、（１、１）（２、３）（２、３）、、、（１、２）（１、２）（３、３）、、、（１、３）（１、３）（２、２）、、（１、２）（１、３）（２、３） の５通りとなります。 自分は以下のように考えましたが、最後の漸化式が解けませんでした。 まず題意を満たす場合の数をa(n)とし、また１,１,２,２・・・・・n,n,r,sの２（n＋１）個を、２個ずつのn+1組に分ける場合の数をb(n)とします。 a(n+3)について考えると（n≧１）、 （i)(n+3,n+3)と組みにしたとき、残りの分け方はa(n+2)通り。 （ii)(n+3,k)(n+3,k)と組みにしたとき（１≦k≦n+2),残りの分け方はa(n+1)通り。 （iii)(n+3,j)(n+3,k)と組みにしたとき（１≦ｊ＜ｋ≦ｎ+２）、ｊとｋの選び方はｎ+２C２通りで、残りの分け方はb(n)通り。 （i)(ii)(iii)より、a(n+3)=a(n+2)+(n+2)×a(n+1)+ｎ+２C２×b(n),(n≧１）・・・・・・・(1) b(n+1)について考えると(n≧１）、 （i)（r,s)と組みにしたとき、残りの分け方はa(n+1)通り。 （ii)(r,k)と組にしたとき(1≦ｋ≦ｎ+１）、残りの分け方はb(n)通り。 （i)(ii)より、b(n+1)=a(n+1)+(n+1)×b(n),(n≧１）………(2) (1)(2)からa(n)を消去すると ２×b(n+3)－２×（n＋４）×b(n+2)+(n+2)(n+1)b(n)=0,(n≧１）・・・・・・・(3) (1)(2)からb(n)を消去すると ２×a(n+3)－２×（n＋３）×a(n+2)+(n+2)(n+1)a(n)=0,(n≧１）・・・・・・・(4) 上の問題はあるテキストの問題から考えました。そのテキストでは同じ数字を区別してやっていたのでわりとやりやすかったのですが、区別しないとどうなるだろうと考えたのが上の問題です。数学が得意な方よろしくお願いします。