１０日間のホームステイを２度経験しています。
場所はサンフランシスコとロンドンです。
その時の経験談ですが、参考になればうれしいです。
恐らく「持ち物一覧」など記載されたもの、ありますよね？
国内で旅行する時の持ち物＋αで考えます。
洗面用具一式はもちろんですが、
タオル類がどうなっているかは必ず確認してください。
先の回答の方が「シャンプー歯磨きは現地調達」と書かれていますが、
ホームステイ先によっては近くにスーパーがない場合もあります。
また、２週間であれば、自由時間も貴重な時間になるでしょう。
あなたが女性の場合はシャンプー・トリートメントが変わっただけで、
髪質と合わなくなり、毎日がブルーになることもありえますよね？
なので、私（女）はアメニティ類は自分のを持参します。
２週間程度なら、小さい容器タイプであれば間に合いますよね？
下着や着替え類ですが、
ホームステイ先で洗濯機を使用できるのであれば、
洗濯機を使用できる頻度を事前に確認してください。
家庭によっては、節約のためにホストマザーが一緒に洗ってくれたり、
〇日に１度使っても良い、などのルールがあるはずです。
もしお洗濯が可能であれば、
簡単に洗えるもの（主に下着類）であればその洗濯回数に合わせて、
持参枚数を決めるとよいと思います。
洗えないようなもの（特にドライが必要なもの）もあるかと思いますが、
着回しができるものを持参することをオススメします。
ただ、汚したり汗をかいたりすることもあるので、
かさばらないような洋服を数枚＋１枚持っていくことをオススメします。
都市部に買い物に出る余裕があるのであれば、
洋服については現地調達も自分へのお土産になるので良いですが、
行けなかった、サイズや気に入るものがなかった・・・となっても
現地で困らないように、準備してくださいね。
あと、スリッパを持参されることをオススメします。
海外のお宅でも、靴を脱ぐ家はたくさんありますが、
その場合でも玄関で靴を脱ぐのではなく、
居間のカーペットの上だけ靴を脱ぐとか、
脱いでも脱がなくても良かったりなどしています。
もし、脱がないお宅の場合でも、
自分のお部屋では脱ぎたいですよね？
その時にスリッパがあるとラクですよ。
ドライヤーを利用している場合は、持参有無を事前に確認してください。
お風呂の時間帯は恐らく決まっていると思います。
私の行ったホームステイ先は、
ロンドンは夜早い時間帯はお子様が入るため、夜遅い分には何時でもOK、
サンフランシスコは電源の入り切りがあったので、
夕食後に入浴し、入浴後に団らんの時間があって、その後就寝・・・でした。
私はマイナスイオンドライヤーとヘアアイロンが欠かせないので、
海外でも使えるドライヤーとヘアアイロンを持参しました。
サンフランシスコでは使っても良いって言われましたが、
ロンドンでは夜遅くの入浴が必須で、何も言われませんでしたし。
日本からのお土産は決めましたか？
ホストファミリーの構成を事前に確認して、
ひとり１つのお土産だと喜ばれますよ。
もちろん、安いもので十分です。
「和紙の折り紙」や「和紙のレターセット」、「和紙の人形」
「昔のおもちゃ（パタパタとかでんでん太鼓等）」
「扇子」「和風柄のハンカチやタオル」「甚平」
「ティパックの日本茶」「インスタントのお味噌汁」など、
『THE日本』を感じられる数百円～1000円程度のもので十分です。
ただし、和柄の靴下を成人男性や男児に買う場合は失敗するかも。
思っている以上に足がデカイです（笑）
５本指ソックスをホストファーザーに買ってきましたが履けず、
４歳児でも親指が微妙にキツイ・・・状態で笑っちゃいました♪
それから・・・「食」は大事です。
別に食べ物を持参するってワケではありませんが、
インスタントのお味噌汁とティパックの日本茶（ほうじ茶・緑茶類）を
毎回持参していました。
向こうではウーロン茶もないので、妙にお茶が飲みたくなります。
ホームステイ先でもお湯はいただけるので、
（私の場合は両方とも夜にお部屋に戻る時にポットをいただきました）
一息つくためにお味噌汁とお茶でまったりしていました。
これは毎日の生活習慣にもよるかと思いますが、
２週間海外の味だけで過ごせる自信があるのなら不要です。
昔、初めて海外旅行に行った時に日本食が恋しくなり、
それ以来、海外行く時には必ず持参しています。
ちなみに私は和食よりも洋食が好きな方です。
ロサンゼルス５日間でしたが、その時にセブンイレブンを見つけ、
夜食にそこで売ってた日清のカップラーメンを食べ、
帰りのロスの空港にあった小僧寿しでいなりずしを食べました（笑）
サンフランシスコの時はホストマザーが気を使ってくれて
お米を使ったお料理を出してくれたり、
味も日本人にあった感じで困りはしませんでしたが、
ロンドンの時は「THE薄味ロンドン」で口に合わず、食べた気がせず・・・
日中街中に出てはご飯を食べてました^^;
しかも、ラーメンやカレーなど、ジャパニーズテイストばかり（笑）
ホームステイは楽しいですよ。
ホストファミリーとたくさん触れ合って、
いろいろなことを吸収してくださいね。
