線形変換の定義 証明
線形変換の定義 証明
以前ご回答頂き理解したつもりだったのですが・・・
実際に自分で証明を試みましたが出来ませんでした。
理解出来ていなかったので再々度質問させて頂きます。
重複質問で申し訳ないですm(_ _)m
線形変換の定義
[1]
体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、
x,y∈V, a,b∈K, について常に
f(ax+by) = a f(x) + b f(y) が成り立つもの。
[2]
体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、
x,y∈V, a∈K について常に
f(x+y) = f(x) + f(y),
f(ax) = a f(x) が成り立つもの。
[3]
体 K 上のベクトル空間 V 上の変換 f で、
x,y∈V, a,b∈K について a+b=1 のとき
f(ax + by) = a f(x) + b f(y),
f(ax) = a f(x) が成り立つもの。
*****以下質問内容*****
[1]と[3]が同値であることの証明は理解できたのですが、
[1]と[2]が同値であることを証明できません。
[1]と[2]が同値であることの証明
[1]の定義に従い、[2]を示す。
・x,y∈V,a,b∈Kにおいてa=b=1∈Kとおくと
x,y∈V,1∈K→f(ax+by)＝f(1*x+1*y)=1*f(x)+1*f(y)=f(x)+f(y)=f(x+y)
・x,y∈V,a,b∈Kにおいてy=0∈V,b=0∈Kとおくと
x,0∈V,a,0∈K→f(ax+by)=f(ax+0*0)=f(ax)+0*f(0)=f(ax)=af(x)
[2]の定義に従い、[1]を示す。
・x,y∈V,a∈Kにおいて
f(x+y)がf(ax+by)=af(x)+bf(y)となる事が示せません・・・
そもそも、a∈Kでbはどこからでてくるのでしょうか？
[1]→[2],[2]→[1]であるなら、[1]と[2]は同値であると示せると
思うのですが、[2]→[1]はどのようにすれば示せるのでしょうか？
お手数ですが、ご回答よろしくお願い致します。
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お礼
回答ありがとうございます。 希望通りの形にすることができました!!