「音楽＝バンド」を前提とした回答が多いようですが、質問文では「吹奏楽部に憧れて」とありますね。
吹奏楽は、管弦楽・オーケストラやジャズバンドとも通じます。というか、吹奏楽はクラシックからジャズ、ポップスに至るまで、様々なジャンルの曲を演奏します。なので、演奏形態や求められる技術の種類、音色などは異なりますが、コンバートすることはそれほど難しくはありません（ジャズから戻ってくるのは難しいかも知れませんが）。いずれも市民楽団がありますが、地域によっては楽団がなかったり、求められるレベルが高かったり、といった差はあります。
パート的に言うと、サクソフォンは管弦楽やオーケストラでは使われないことが多く、吹奏楽やジャズでは中心的な存在になり得ます。他の楽器に比べて「とりあえず音を出す」ということが簡単なので、その意味では取っ付きやすいですが、楽団入りを考えるなら、地元にサックスで入れる団体があるのか調べておいた方が良いでしょう。
ほかに、普通の人が知っているであろう楽器（フルート、クラリネット、トランペット、トロンボーンなど）は演奏人口が多いこともあって、募集していない楽団も少なくありません。大型楽器（テューバなど）は人手不足ということも多いですが、保管・運搬が大変だったり、楽器自体もかなり高価なので、気軽にやってみるというのは難しいでしょう。
吹奏楽（と一部の管弦楽・オーケストラ）では、ユーフォニアムという楽器をよく使います。オーケストラも含めて登場機会の少ない楽器なので、演奏人口が少なくニッチな需要がありますが、そのような楽団があるかどうかが重要です。
打楽器は、演奏方法の異なる様々な楽器をまとめて扱うので、マスターするのはなかなか大変です。大型の楽器も多いので、マイ楽器を買うのも一般家庭では難しいことがあります。
バンドの話は他の回答者にお任せするとして、ほかに面白いのは...
アコーディオン、なんならバンドネオンという選択肢もあります。意外と社会人サークルがあるようで、和気あいあいとしたところが多いようです。似たところで、鍵盤ハーモニカも楽しい楽器です（小学校で使うチープなやつも独特の良さがありますが、高いのは数万円します）。
リコーダーも良いでしょう。これも、本気でやるとなるとけっこう難しい楽器です。笛の仲間では、ケーナ（南米。「コンドルは飛んでいく」など）やティンホイッスル（アイルランド。「タイタニック」のテーマなど）などの民俗楽器も面白いです。ディジュリドゥ（アボリジニの楽器）とか、フヤラ（スロバキア地方のオーバートーンフルート）とか、どんどんマニアックになっていくのでこの辺で止めますが...(笑)
打楽器も、ラテンパーカッションや様々な民俗楽器があって面白いです。
こういった民俗楽器も、教室があれば先生ともども楽しく演奏できるでしょうから、ご興味があれば、ぜひ。
