ワンワールドというのは、JALやキャセイパシフィック航空（CX)などの航空会社のグループのことです。ワンワールドに加入している航空会社は現在だと１２社だと思います。全日空などが加入しているスターアライアンスは現在２７社が所属していると思います。他には、大韓航空等が所属しているスカイチームがあります。こういう航空会社のグループを航空連合（airline alliance）といいます。
マイレージプログラムはそういう航空連合に登録するものではなく、それぞれの航空会社に登録するものです。つまり、ワンワールドに登録するものではなくJALとかCXなどに登録するものです。登録は基本的に無料です。
ご自分で登録したい航空会社のホームページから簡単に申し込むことができます。申し込むと大体はすぐにマイレージプログラムの登録番号が発行されます。その後にマイレージカードが送られてくることもありますし、実際に飛行機に乗らなければカードが送られない場合もあります。番号は登録時から有効ですので出発の前日にHPから申し込んで、チェックインに番号を告げればマイルが貯まります。空港にも登録の申し込み用紙があると思いますので申し込みも可能と思いますが、理由は省略しますが、HPから申し込む方が無難です。
また、実際に会員登録をしなくても飛行したあとでもマイル加算の事後登録ができる場合も多いですが、搭乗券の半券が必要な場合が多いですし、他にもいろいろな間違いとかも多いので搭乗券の半券はどの場合でも保存しておいた方がいいかと思います。
日本に住んでいらっしゃる普通の日本人の場合はワンワールドだとJALに登録するのが一般的です。CXで香港経由で行かれることが非常に多い人ならCXのマイレージプログラムであるアジアマイルに登録されるのも選択肢になりますが、質問者さんの場合はJALに申し込まれた方がいいと私は思います。
特別な格安航空券以外の正規割引航空券ならワンワールドに所属している他社のマイレージプログラムにもマイルが加算できます。たとえばCXで飛んでもJALのマイレージに加算できます。その反対も可能です。それはチェックインの時などに申し出すればいいだけの話です。
ただし、他社のマイレージプログラムで飛んだ場合、マイレージの加算率が７０％とか５０％になってしまう場合があります。２５％というのもあったと思います。つまり、本来から言えば、いちばん効率がいいのは一番よく利用する航空会社のマイレージプログラムに登録されるのが一番いいのですが、まあ、質問者さんの場合は、JALかCXかのどっちかとい選択肢になり、私はJALの方がいいと思います。
今回のニューヨーク往復CXのビジネスだとJALにためても区間マイルの１２５％貯まりますからJALでも効率がいいことになります。
キャセイは上記のアジアマイルの他にマルコポーロクラブというマイレージプログラムもあってややこしいのですが、実際にマイルのことに関してもJALの方が分かりやすと思います。私はJALの上級会員でもありますがマルコポーロクラブの上級会員でもあります。上級会員を目指すならJALよりもマルコポーロクラブの方がいい面（無料アップグレードの頻度とか）もありますが、一般的にはJALのマイルを貯めつつ、マイレージプログラムの知識を付けていかれるのが一番いい方法だと私は思います。
まあ、とりあえず、JALとCXのマイレージプログラムに登録しておいて、行かれる前までにマイルの知識をためて、出発当日にどちらにマイルに貯めるかを選択してもいいですね。
お礼
非常にわかりやすいご回答をありがとうございました。おっしゃったように、とりあえずはJALとCXのどちらにも加入してみようと思います。もう少し勉強させていただきます。また機会がありましたらどうぞよろしくお願いいたします。