GREEで"公式"ってありました?
公式というのは、日本語としては「おおやけに定められた形式」ということですが、携帯サイトの場合公式というと、公式サイトと言う、なんというか公開形態の固有名詞的な意味合いの場合が多いです。
なんの公式かというと、キャリア(ドコモやソフトバンクなど)の公式です。
各キャリアの公式課金システムを使います。
またキャリアのチェックが入っているということでもあります。
このため、ゲーム内の広告などに大きく制限がかかるようです。
これに対して勝手サイトというものがあり、課金を外部システムを使って行います。
GREEなどソーシャルゲームサイトなどは、これに当たります。
最近は月額固定が流行らないので、基本プレイ無料でアイテム課金ということが多いですが、別に定額をやってはいけないわけではありません。
実質は違いますが、語源は勝手にやっているの"勝手"なので、各サイトごとの規定でR指定していることが多く、広告などもサイト次第で緩いものもあります。
といった感じで、公式というのは課金システムのことであり、「ソーシャルゲーム」と対になる言葉ではありません。
ソーシャルは英語そのままで、交流するという意味です。
ゲーム内で、他のユーザーとの交流要素があり、その比重が多いゲームのことを言います。
GREEであれば、グリ友が居て、ゲームだけでなくマイページからコメントをやりとりすることができるので、ソーシャルサイトという分類になります。
そして各ゲームでは、他のユーザーと競争したり、ゲーム内フレンドと協力したりしながら進めるゲームシステムなので、ソーシャルゲーム/ソーシャルアプリなどと呼ばれます。
まあ、細かく覚えているわけじゃないので、定義の詳細は間違っているかもしれませんが、おおむねこんな感じです。