「カーソルをすすめる」とありますが、スペースキー（幅の広い何も書かれていないキー）を押したのではありませんか？
その場合に表示される□（文字よりも色が薄いもの）は「全角空白（スペース）記号」です。あなたはカーソルを先に進めたつもりかもしれませんが、実際には空白の文字を入力したということです。
Wordでは、空白や改行などの各種の記号は表示したりしなかったりの設定が可能ですが、あなたが今編集中のWord文書では「表示する」に設定されているため、スペースキーを押したら薄い色の□が表示されるということです。なお、英字モードなどの半角入力時には、半角の空白記号である「・」が表示されます。
カーソルの位置を制御する方法には、空白を入力する、タブ（Tab）を入力する、字下げの設定をするなどいろいろな方法があるため、効率の良い入力のためにはそれらを使い分けることが必須で、私などはそれらの記号をすべて表示するようにしていますが、それが嫌だというのであれば、表示しないように設定を変更します。
Wordのバージョンによって設定方法は違いますが、バージョンが書かれていないので、とりあえず私の使っている2007の場合だと、「Officeボタン」-「Wordのオプション」で表示されるダイアログボックスの左側の「表示」をクリックし、「常に画面に表示する編集記号」の中の「スペース」あるいは「すべての編集記号を表示する」のチェックボックスのいずれか（または両方）にチェックが入っているはずなので、これを外せば空白記号は表示されなくなります。
それまで表示されていないものが表示されるようになった原因としては、誰かがWordの設定を変更したか、あなたが編集しているその文書が誰かの作ったものである場合には、その文書の作成者のWorodの設定が編集記号を表示する設定にしているためだと思われます。
なお、この質問はかなり基本的なことで、Wordに関する市販の参考書などには、私の知る限り、まず載っています。Wordは機能が豊富すぎて目的の操作を探すのが大変だし、余計な機能もいっぱいあるので、最低限、初心者向けの参考書籍は必須だと思います。
お礼
詳しく教えていただいて有り難うございました。 とてもわかりやすい説明で初心者にもよくわかりました。