こんにちは。
『契約』について。
ドコモと契約者との契約は、基本的に番号契約です。機種ではありません。
その番号を使用する契約をした人が契約者であり、契約成立後、その番号を書き込んだFOMAカードをドコモから貸し出してもらっている状態です。
なので、その番号の契約者が、いつどの機種（製造番号含め）を購入したかの記録は残りますが、今どの機種を使用しているかなどは伝える必要もなく、修理などの話しはまた別です。
『保証』について。
保証は基本的に、契約者が機種購入後一年間です。
ただし、水濡れや全損は保証されない為、
『ケータイ補償お届けサービス』
というものがあり、水濡れや全損でも保証するというもので、これは購入時にその購入した機種のみ月額有りで付けることが出来る保証です。
以上が保証で、貰いものの携帯は対象外です。
後は、プレミアクラブの会員であれば、
全損（有償全額負担もしくは修理不可能）以外で、
故障時に最大5000円以内で修理が出来ます。
人からの貰いものなどで故障した場合は、購入日ではなく、製造日から３年以内であれば、プレミアクラブ会員として修理が可能です。（ただし、水濡れや全損でない場合です）
まとめると‥
現在使用している携帯と、ドコモに記録が残っている最終購入携帯が違っても、報告は要りません。
人からの貰いものでも、修理は可能です。
ただし、貰いものに保証はありませんし付けれません。
強いて言うなら、製造日から３年以内なら修理に出せる‥
という意味での保証なら有りです。
（何故、製造日から‥なのかと言うと、
『いつ誰が購入したか』が分からず、貰った人がその『いつ誰が‥』を分かっていてもドコモでは検索出来ないため、
端末に記載されている製造日で、修理可能範囲内であるかを判断せざるを得ないため、です）
参考までに。。
補足
ありがとうございます。 私の携帯も通販で欲しいのがあったのですが、通販で買って 後でドコモさんのお店に行って 電話帳などのデータを移し変える作業をお願いする事は、可能ですか？ お財布携帯などのアプリもどやって 移せばいいかわからないので、お店の方に聞いてみたいのですが、可能ですか？