すでにいくつかの回答がついていますが、ＪＲだと「福岡」という名前の駅は福岡市内にはありません。
ひとことで「福岡」といっても広いのでどこにいくかによって降りる駅も変わってきますが、中心駅としては「博多駅」になります。
で、ＪＲだと、長崎～博多で安く移動するには「２枚きっぷ」を使います。
「2枚きっぷ」とは名前のとおり、2枚セットになった回数券で、1人で往復するならこれで十分です。
特急にも乗れます（1月2日だと自由席にしかのれません、片道あたり500円プラスすれば指定席にも乗れます）。値段は2枚きっぷで6,000円（1枚あたり3,000円）です。
2人以上で移動するのなら「４枚きっぷ」もあります、こちらは4枚セットで10,000円（1枚あたり2,500円）です。
ただし、２枚きっぷ、４枚きっぷは列車内では販売していません、必ず乗車前に駅の窓口等で購入してください。
（ここは、回答者No3さんが述べられている通りです）
あと、電車ではなく、バスでよければ、九州急行バスが「九州号（博多・天神～長崎駅前）」をだしています。（片道2,500円）
バスだと、博多駅だけでなく、天神付近にも止まります。
（「天神」とは福岡市の商業施設が集まっている地区です、「博多駅」付近はどちらかといえばビジネス街になります）
また、ＪＲ、高速バスとも、朝から便はでていて、ＪＲだと１時間に１～２本、高速バスだと1時間に３～５本でています。
所要時間は、ＪＲ特急で2時間10分くらい、高速バスで最速2時間20分くらい、です。
それでは、よい旅を！
お礼
わざわざありがとうございます♪ 参考になりました(^O^)／ 切符？とかは、その場で 買えるのですか？