型番を明らかにしたほうが、正しい情報を得られます。
まず、Windows95のプリインストール機種としては極めて非力な構成(500MBのHD・8MBのRAM)なので、CPUも486DX4/100MHzないしはPentium/75MHzぐらいのスペックだと考えられます。プリインストールというようりも、アップグレードCD-ROMが添付されていた可能性の方が高いです。8MBのメモリでは、Windows95は起動するだけでかなりの時間を浪費しますから。
次に、メモリは、今は中古ならただ同然なので、せめて40MBまで増設すると仮定すれば、問題なくWeb環境が構築できます。私は、自宅(実速4Mbit程度のCATV接続)では200MHz程度の旧PCでもWEB接続をしていますが、基本的に困ったことはありません。ブロードバンド専用のコンテンツ(映画など)ですら、まともに再生できることの方が多いです。
日本中に、いまだにモデムやISDN回線でWeb接続している方々が何万人もいますので、Webサイトのほとんどは、そういった方々のことも考えて構築・プログラミングされています。2GHzのPCで遅い回線を使うより、100MHzのPCで速い回線を使うほうが、Web接続自体の体感は速くなりますので、勘違いなさらないようにしてください。
最後に、PC-98X1の型番によっては、貴方のおっしゃる「スロットル」(拡張スロットのことだと思います)が、Cバス(PC-98シリーズ専用)タイプしかないタイプもありますので、この場合は、\1,000のPCIタイプLANカードというわけにはいかないので、中古品を探すか、新品なら非常に高価(\5~6,000ぐらい)な専用LANカードを入手する必要があります。
私は、これらのカードをたくさん所持していますので、痛くも痒くもないのですが、PCIタイプのスロットがない機種で、かつLANカードが入手困難という状況なら、そのPCでのWEB接続は、金銭的にもったいないのでお勧めしません。
補足
皆様有難う御座います。 型番は、電話すれば解りますが、皆様の意見を参考にすると、あきらめた方が良さそうですね。 同じタイプのを、ジャンクショップで見たのですが、LANボードが、非常にデカイタイプですね。 同時期の富士通を持ってますが、こちらは、LANボードは、今あるのと、同じタイプです。 やっぱ、この時期のNECは、特殊ですね。