基本的に、23区内の区立図書館で、クラシック資料を置いていないところは現在では皆無だと思います。少なくともＡＶ資料（カセット・ＣＤなど）を置いていて、クラシックがない、ということはありません。（逆ならあるかもしれません。クラシックがあってポップスがない、など…）
都内でお探しということで、都内に在住されていると仮定させていただきますが、それでしたらとにかくご自宅の最寄の公立図書館を一度訪れてみてはいかがでしょうか。今は同区内の相互貸出（同じ区内・もしくは提携している他区内や都立の図書館が所有している資料を、利用者の希望の館で借りられるシステム）がかなり発達していると思いますから、それだけでもかなり探せる資料の数は多くなると思います。他館にどんな資料があるかも、オンライン検索を実施している区であれば一発でわかります。私の知っている限りでも、大田区・港区・品川区は既に数年前から以上のようなシステムを実施しています。
私も以前はよく図書館を利用していましたが、現在は近所に図書館がなく、活用できないでいます。なので、ひょっとしたら現状にはそぐわない回答になってしまっているかもしれませんが、お役にたてば幸いです。
あと、蛇足ですが、このサイトの利用者の全てが「教えてＧｏｏ」経由で利用しているわけではありません。あまり「教えてＧｏｏ」を前面に出されると、不愉快に思う人もいます。一つ覚えておいていただければ、と思います。
