乾電池での点灯時間計算は

質問

次のような条件であれば、点灯時間はどのくらいでしょうか。計算方法などあればお教え下さい。
１・アルカリ単３乾電池２本、縦に一列に連結し、その先に2.2Ｖ0.25Ａニップル球をつけて点灯。
（夜間常夜灯として付けっ放しにしておいて何時間ぐらい持つか知りたいのです）よろしくお願いします。

回答No.4

soramist · ベストアンサー

はい。

現象に対するこのような姿勢は大変結構なことと思います。
この姿勢がないと科学は進歩しません。(^_^;)

実験をする→理論を立てる→理論の確認のために別の視点からの実験をする→実験結果が理論どおりに
ならなかったら、もう一度理論を考え直す→（最初に戻る）

この繰り返しで、科学は進歩して行きます。
「理論と実験は車の両輪」です。

前回ご説明の中の、電球の3/5乗則はいろんなところで、役に立つと思います。

前回、あまりにも長文になったので、計算結果を記載しませんでしたが、今回下記しますのでエクセルか何かで
グラフプロットしてみてください。
電球負荷の場合の位置付けがはっきりします。

電圧(V) 　　　　3　　　2.7　　　2.4　　　2.1　　1.8　　　1.5　　　1.2　　0.9　　　0.6　　　0.3　　　0
定電流放電(A)　 0.3　　 0.3　　　0.3　　　0.3　　0.3　　　0.3　　　0.3 　0.3　　　0.3　　　0.3　　0.3
定抵抗放電(A)　 0.3　　0.271　　0.241　　0.211　　0.181　 0.151　 0.121　 0.09　　0.06　　0.03　　 0
ランプ放電(A)　0.3　　0.283　　0.263　　0.243　　0.222　　0.199　 0.174　0.146　 0.115　　0.076　　0
ランプ放電の(W)　　　　　　 　　　　　 　　　　　0.209 　　　　　　　　　 　　　　0.069　　0.023　　0

蛇足ですが、電球負荷で1.8V時（１セルでは0.9Ｖ）の電力は0.209Wで、放射則から計算すると[1537℃]となります。
2500℃はまっ白に輝いていますが（いわゆる白熱電灯）、1537℃はかなり赤みを帯びていて、照明としては
ほとんど役に立たない状態です。

また、この電圧になると急激な電圧低下が始まることも知っていて損は思います。
電池電圧の急激な電圧降下開始点と、ランプの照度低下（もはや実用にならない明るさ）が一致するように、
電球が作られているのではないかと思います。

回答No.3

soramist

A1の補足へのご回答を忘れていました。

間歇放電では、休止中に電池の活物質が回復するので、連続放電よりも、1.3～1.5倍くらい
長持ちします。（総Ahで評価して）

回復率は、放電パターンによります。
　休止時間が長いほど、回復は大きくなります。
　放電深度が深いほど、回復は小さくなります。

　1Vまで放電し休止するより、0.9Vまで放電し休止する方が、放電深度は深いです。

　1Aで0.9Vまで持っていくよりも、0.1Aで0.9Vまで持っていく方がはるかにキビしいです。

回答No.2

soramist

[結論]
完全消灯までの時間は、[7.8時間]と算定される。

[検討]
「電球負荷」のデータはないので、「定電流負荷」、「定抵抗負荷」の資料から推算する。
　　資料１　（パナソニック）　
　　http://industrial.panasonic.com/www-data/pdf2/AAC4000/AAC4000CJ31.pdf　

(1)タングステン電球の負荷特性（電流・電圧の関係）は、「電流は電圧の3/5乗に比例」する。　　
　　資料２：（４）式　http://www.nep.chubu.ac.jp/v17/v17-73-3.html

　　すなわち　I=k1xE^0.6 0.25A=k1x(2.2V)^0.6 これから k1=0.1558が求まる。

　　3Vかけたときの条件は、電圧3Vを上式に代入して[0.301A], [ 9.96Ω]

(2)資料１から、0.301A定電流負荷のとき、0.9Vまで下がるに要する時間は、[5.5時間]と読み取れる。
　　同じく、4.98Ω定抵抗負荷のとき、0.9Vまで下がるに要する時間は、[9.2時間]と読み取れる。
　　　　注1　0.9Vを選んだのは、データがここまでしかないため。
　　　　注2　9.96Ωは２セル時。　１セルの場合1/2の4.96Ωで読み取り。

(3)上記0.6乗式に、電圧3.0～0Ｖを入れ、電流・電力を計算、電圧(x)・電流(y)の関係をグラフにプロットする。　　
　　　（電力は後で別のことに使う））　　
　　同様に、定抵抗負荷のときの電圧・電流の関係を求め、グラフにプロットする。
　　定電流負荷もグラフ上に表示する。

　　これらグラフから、電球負荷は、「定電流と定抵抗の間にあり、ほぼ2:1の比率で、
　　定抵抗側に寄っている」ことがわかる。

(4)3Vから1.8Ｖに至るまでの平均電流は、
　　　　　定抵抗　0.241Ａ、　電球　0.261A、　定電流　0.301A

　　　電流と時間は反比例の関係にある（t(h) x I(A)=k2）と想定し、 定抵抗、定電流のkを求める。
　　　　　　定電流　　ｋi=0.301Ax5.5h=1.66
　　　　　　定抵抗　　kr=0.241Ax9.2h=2.22
　　　　　　（考察　負荷が軽いほどｋが大きくなることがわかる）

　　　電球負荷は、これを2:1の比率で按分する。
　　　　　　kL=(1.66x1+2.22x2）/3=2.03
　　　電球負荷で1.8Vになるまでの時間
　　　　　　t=2.03/0.261=[7.8時間]

(5)1.8Vから完全消灯するまでの時間　（１セルでは0.9Vから・・・）
　　資料３：（日立）　　http://www.maxell.co.jp/products/industrial/battery/dynamic/pdf/LR6.pdf　

　　この資料の5Ω負荷のデータを見ると、0.9V直前で急激な電圧降下が始まり、0.9Ｖから先は、
　　ほとんど０であることがわかる。
　　よって、0.9V（２セルでは1.8V）から先の時間は無視する。
　　（考察　電球負荷は抵抗負荷より電流値が大きいため、降下率はより大きいと推測される）

(6)消灯電圧の推算
　　消費電力は、熱放射（輻射）により冷却され、バランスしていると考えられる。
　　よって、ステファン・ボルツマンの放射則より、
　　　　　　P(W)=k3T^4

　　タングステンの融点は3300Ｋ（ケルビン）、これから定格時のフィラメント温度は、
　　約2500Kくらいであろうと推測。
　　　　2.2Vx0.25A=0.55W=k3x(2500)^4　これより　k3=1.408x10^-14
　　発光が見られるのは一般に800℃付近。=1073K
　　よって完全消灯時の電力は、
　　　　　　P=1.408x10^-14x(1073)^4=0.0187W
　　上記(3)の計算結果から、このときの電圧は[0.27V]付近と求まる。

　　これは１セルでは、0.135Vに相当する。
　　かなり、低電圧まで光っていることがわかる。
　　ただし、0.9V(２セルでは1.8V)を切ると、急速に暗くなることは前述のとおり。

[終わりに]
最初、ご質問を拝見したときは、「そんなこと、やってみればよいじゃん」と思いました。
電池という複雑な化学反応を定量的に解明することは極めて困難で、実測する方が手っ取り早いです。

しかし、電池屋をもって自負するわたしが（アマチュアですが）、そんなことではいけない
と反省し、挑戦しました。
理論的な解明には程遠いドロ臭い手法で、ご期待を裏切ったかもしれませんが、結論としては
さほど的外れでもないと思っています。

スペースがないため、計算過程は記載省略した部分がありますので、ご不明な点があれば、
遠慮なく質問してください。

参考URL：

http://industrial.panasonic.com/www-data/pdf2/AAC4000/AAC4000CJ31.pdf

お礼

大変なお手数をお掛けし恐縮です。素人の私にも少しは分る入り口をご指導いただいたような詳細さで感謝の言葉もございません。最初実験したら解決と思ったのですが、何とか計算できる方法を教えていただき他にも利用したいと考えたためご迷惑をお掛けしました。まことに有難うございました。ただただ感謝のみです。内容をよく勉強させていただきます。その節は又ご指導いただければ幸いです。

回答No.1

soramist

時間が経つにつれ、電圧が下がってだんだん暗くなります。
明るさを決めないことには、時間は計算できません。
明るさを決めてください。

それとも完全消灯ですか？(^_^;)

お礼

有難うございました。明るさの問題を気付ず、ご指導いただき成る程と、まことにお恥ずかしい次第です。
明るさは、時間経過と共に暗くなってもかまいません。要は全く暗くなる（完全消灯）の直前までということで、それまでの持続時間が分れば有難いです。計算など難しく理解できないかも知れませんが、教えていただければ今後の場面でも使えるかもと楽しみにしています。
なお、もし継続途中で、例えば５時間で切断、翌日接続して又５時間で切断というようにした場合、利用できる時間は延びるのでしょうか。或いは短くなるのでしょうか。よろしくお願いします。