通常FlashGetはFirefoxとは連携しない筈です。連携を取るためにはAmaze Softが用意したプラグインもしくはFlashGotのようなFirefox用拡張をインストールすることが必要です。
Amaze SoftのプラグインはIEも並行して使う場合はそちらに悪影響が出ることが多いので利用をお勧め出来ません。もし使っていたら外すのが得策です。（症状からいって多分違うと思いますが）
FlashGotの場合、標準設定ではクリック即FlashGetでダウンロードにはならない筈です。もしFlashGotをお使いでその動作を変えたいなら、Firefoxのツール→オプション→ダウンロードタブと選択し、『ダウンロード時の動作設定』からexe、zipなど該当する拡張子の動作を変更可能かと思います。
さて…もし特にFirefoxとの連携用ツールを入れてないのに勝手にFlashGetが立ち上がるとしたら、Firefoxに組み込まれた拡張、例えばIEtabのようにIEとの連携を図るものが何らかの影響を与えているのではないか？という気がします。
問題の切り分けを行うために、いちど疑わしい拡張を削除して様子を見るというのが良いように思います。
また、FlashGetの設定でIEの監視を行わない設定を行っておくと、勝手に立ち上がる現象を抑えることは可能だと思いますのでご検討ください。
お礼
お返事ありがとうございます。 ご指摘のとおりFlashGotを使用しておりましたが、 ダウンロード時の動作設定から原因を突き止めることが出来、無事解決いたしました。 ありがとうございました。