y_hiroaki の回答履歴

自然対数で使用するｅの値が2.718になることを級数を用いて証明したいのですが、よくわかりません。 どなたかよろしくお願いします。

大学１年のものです。 (e^x)'＝e^xの証明がわかりません。 高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。 ここの過去の質問も見させてもらったところ、２つほど見つけたのですが、 １） y＝e^x logy＝x (1/y)y'＝1 よって　 y'＝y＝e^x ２）　　e^xを無限級数に直して微分 １）の場合d(logx)/dx＝1/x…(＊)を利用していますが、(＊)は(e^x)'＝e^xを利用せずに証明できるのでしょうか？ ２）の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'＝e^xを利用しなければならないような気がします。 １）、２）とも(e^x)'＝e^xの証明に(e^x)'＝e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが… 微分の定義に沿って証明しようともしましたが、 (e^x)'＝lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h) となり、ここで行き詰ってしまいました。 (e^x)'＝e^xはなぜ成り立つのでしょうか？ よろしくお願いします。

例えば、1枚の用紙(平面Π)の上に円を書いて、その円を C、C の中心をO、Cの円周上の任意の点をP、Pにおける円Cの接線をLとします。 そして、中心O から平面Πの法線ベクトル方向に円を積み重ねていくと(同じ円を書いた用紙を積み重ねていくイメージ)、底面を円Cとした円柱ができると思います。 この時、接線Lは円柱の表面上Pにおける一つの接線だと思うのですが、このLを 直線OP(Oを基点にPを通って、無限彼方へ伸びる直線)を中心に360°任意に回転してもそれは全て円柱の表面における、点Pを通る接線と呼べるのでしょうか? (これが、円柱ではなく 球表面における任意の点Pを通る接線なら、そのLを球の中心OからPを通る直線を中心に360°、どのように回転しても接線と呼べると思うのですが、円柱の場合イメージができません)

「Ａ，Ｂ，Ｃ，が起こりうる全ての場合の時 Ａ⇒Ｄ，Ｂ⇒Ｅ，Ｃ⇒ＦでかつＤ，Ｅ，Ｆの勝手な２つの一方が成り立てば、もう一方は成り立たない このときＤ⇒Ａ，Ｅ⇒Ｂ，Ｆ⇒Ｃは対偶をとると成り立つことが分かる」 これが転換法の手順なのだそうですけど、私がいまいちわからないのはどうして「Ｄ，Ｅ，Ｆの勝手な２つの一方が成り立てば、もう一方は成り立たない」という文脈が必要なのですか？なくても全然問題ないように思われるのですが・・・　私は文系なのでかなりてこずっています。どなたか聡明な方、お願いします。

「Ａ，Ｂ，Ｃ，が起こりうる全ての場合の時 Ａ⇒Ｄ，Ｂ⇒Ｅ，Ｃ⇒ＦでかつＤ，Ｅ，Ｆの勝手な２つの一方が成り立てば、もう一方は成り立たない このときＤ⇒Ａ，Ｅ⇒Ｂ，Ｆ⇒Ｃは対偶をとると成り立つことが分かる」 これが転換法の手順なのだそうですけど、私がいまいちわからないのはどうして「Ｄ，Ｅ，Ｆの勝手な２つの一方が成り立てば、もう一方は成り立たない」という文脈が必要なのですか？なくても全然問題ないように思われるのですが・・・　私は文系なのでかなりてこずっています。どなたか聡明な方、お願いします。