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質問で、ベクトル の長さを与える写像|| ||: R2 → [0;∞)のとき (1) || ||によるR2 の開集合の像は[0;∞)の開集合である (2) || ||によるR2 の閉集合の像は[0;∞)の閉集合である の証明が分かりません。 どなたか回答お願いします

質問で、ベクトル の長さを与える写像|| ||: R2 → [0;∞)のとき (1) || ||によるR2 の開集合の像は[0;∞)の開集合である (2) || ||によるR2 の閉集合の像は[0;∞)の閉集合である の証明が分かりません。 どなたか回答お願いします

年末以来ずっとべき集合というものを考えていたのですが、このべき集合というものがある限り、すべての集合を元とする無限集合を定義できない事が判りました。 すなわち、 今、考えられる全ての集合を元とする無限集合Xが定義可能と仮定する。 すると、その無限集合からべき集合Power(X）が必ず定義可能である。 Power（X)はXの元になっていないために、最初の仮定が間違っていることが証明される。 この事実が意味する事は、 「集合Xからべき集合P(X)を造ることが出来る」－－－－－（A) 「集合を元とした無限集合Xを定義することができる」－－－（B) 暗黙の前提としている公理系では（A)と（B)が両立しないという事になります。 この袋小路はどう考えればよいのでしょうか？ （A)が常に真ではない？ （B)が常に真ではない？ （A)が偽の場合のみ（B)が真である？ （A)が真の場合は（B)が偽である？ 暗黙の公理系になにか公理を見落としている（不足している）？ 考えるヒントを頂ければ助かります。