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次の問題にかなり悩まされています。 「勝つ確率が1/2, 負ける確率が1/2 であるような勝負を1000回 やって、1000回のうち、どこかで15回以上連続して勝つ確率は いくらか？」 これはYAHOO知恵袋で見つけた問題です。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1221460267 回答者のひとりは、 「15回の勝ちをひとまとめにすると、それは985+1回目のどこかで 実現するはず。残り985回は勝ちでも負けでもよい。よって組み合 わせは986*2^985通りで、総数2^1000のうちそれが実現する確率は、 (1/2)^1000*986*2^985=986/2^15」 という回答をしていますが、この回答では15連勝する場合の数を 重複して数え上げていると思います。 もう少し単純な問題を考えてみます。 (問題) 「勝つ確率が1/2, 負ける確率が1/2 であるような勝負を5回やって、 どこかで2回以上連続して勝つ確率はいくらか？」 この問題を先の回答者の方法で解いてみると、 「2回の勝ちをひとまとめにすると、それは3+1回目のどこかで 実現するはず。残り3回は勝ちでも負けでもよい。よって組み合 わせは4*2^3通りで、総数2^5のうちそれが実現する確率は、 (1/2)^5*4*2^3=1」 となりますが、これは明らかにおかしいです。 (この解法では、確率が1になってしまいます。) 5回の勝負のうち、どこかで2回以上連続して勝つ場合をすべて 書いてみると次のように19通りしかないことがわかります。 (勝ちを○で、負けを×で表しています) したがってこの問題の解は (1/2)^5*19=19/32 です。 1 ○○○○○ 2 ○○○○× 3 ○○○×○ 4 ○○×○○ 5 ○×○○○ 6 ×○○○○ 7 ○○○×× 8 ○○×○× 9 ○○××○ 10○×○○× 11○××○○ 12×○○○× 13×○○×○ 14×○×○○ 15××○○○ 16○○××× 17×○○×× 18××○○× 19×××○○ 最初の問題 「勝つ確率が1/2, 負ける確率が1/2 であるような勝負を1000回やって、 1000回のうち、どこかで15回以上連続して勝つ確率はいくらか？」 に対して、パソコンによるシミュレーションをやってみた結果 0.0149 という値を得ました。 しかし私はシミュレーションによる値ではなく、正確な確率の値を 知りたいと思っています。もちろん2^1000通りの勝負のつきかたを すべて調べ上げることができれば答えは得られますが、この方法は 私には無理です。 正確な確率の値を得るためには、どのように考えて行けばよいのでしょうか？ よろしくお願いします。

次の問題にかなり悩まされています。 「勝つ確率が1/2, 負ける確率が1/2 であるような勝負を1000回 やって、1000回のうち、どこかで15回以上連続して勝つ確率は いくらか？」 これはYAHOO知恵袋で見つけた問題です。 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1221460267 回答者のひとりは、 「15回の勝ちをひとまとめにすると、それは985+1回目のどこかで 実現するはず。残り985回は勝ちでも負けでもよい。よって組み合 わせは986*2^985通りで、総数2^1000のうちそれが実現する確率は、 (1/2)^1000*986*2^985=986/2^15」 という回答をしていますが、この回答では15連勝する場合の数を 重複して数え上げていると思います。 もう少し単純な問題を考えてみます。 (問題) 「勝つ確率が1/2, 負ける確率が1/2 であるような勝負を5回やって、 どこかで2回以上連続して勝つ確率はいくらか？」 この問題を先の回答者の方法で解いてみると、 「2回の勝ちをひとまとめにすると、それは3+1回目のどこかで 実現するはず。残り3回は勝ちでも負けでもよい。よって組み合 わせは4*2^3通りで、総数2^5のうちそれが実現する確率は、 (1/2)^5*4*2^3=1」 となりますが、これは明らかにおかしいです。 (この解法では、確率が1になってしまいます。) 5回の勝負のうち、どこかで2回以上連続して勝つ場合をすべて 書いてみると次のように19通りしかないことがわかります。 (勝ちを○で、負けを×で表しています) したがってこの問題の解は (1/2)^5*19=19/32 です。 1 ○○○○○ 2 ○○○○× 3 ○○○×○ 4 ○○×○○ 5 ○×○○○ 6 ×○○○○ 7 ○○○×× 8 ○○×○× 9 ○○××○ 10○×○○× 11○××○○ 12×○○○× 13×○○×○ 14×○×○○ 15××○○○ 16○○××× 17×○○×× 18××○○× 19×××○○ 最初の問題 「勝つ確率が1/2, 負ける確率が1/2 であるような勝負を1000回やって、 1000回のうち、どこかで15回以上連続して勝つ確率はいくらか？」 に対して、パソコンによるシミュレーションをやってみた結果 0.0149 という値を得ました。 しかし私はシミュレーションによる値ではなく、正確な確率の値を 知りたいと思っています。もちろん2^1000通りの勝負のつきかたを すべて調べ上げることができれば答えは得られますが、この方法は 私には無理です。 正確な確率の値を得るためには、どのように考えて行けばよいのでしょうか？ よろしくお願いします。