ヨーヨー風船とケプラーの定理

質問

お祭りの夜店でヨーヨーを釣った事がありますか．
水入りゴム風船にゴム紐がついたやつ．
あれを叩かずに手元をかわして投げ続けると楕円軌道のようになります．
ゴムがいちばん伸びた時、ゴムは強い力で引いているのでヨーヨーは戻ってきます．
いちばん伸びた時にゴムが弱くなって切れると、ヨーヨーは戻れません．
太陽から遠距離の地球には弱いゴム紐の距離の二乗の反比例でした．
ヨーヨーが地球なら地球は楕円を戻ってこられません．
ゴム紐の力から見れば、ヨーヨーの楕円軌道では手元で楕円の軌道を描く時、楕円の焦点は太陽と地球の焦点とは逆の側の焦点です．
だからそれは、太陽から離れた遠日側で、地球が軌道の向きをかえる動きをさせそうにありません．不思議です．
そして宇宙飛行士が遊泳する宇宙は自由空間です．
慣性はありますが、太陽と地球の間に公転の回転モーメントは存在しません．
回転モーメントが無いので公転の角運動量は存在しないという事になります．
とするとケプラーの面積速度一定の法則は角運動量の保存量の
L＝ｍｒｖsinθ＝const.
とは角運動量の保存に式が似ているが、似ているだけで全く別物なのではないでしょうか?

回答No.3

Nakay702

お尋ねの問題を「天体軌道論」（への導入）と見なせば、面白いテーマだと思います。よいきっかけをいただいたかも知れません。というのも、長年放送大学の関連科目（「進化する宇宙」、「宇宙とその進化」、「太陽系の科学」、「宇宙像の変遷」など）を視聴しながら天体軌道論関連の講義を期待していましたが、取り上げられませんでした。ということで、この機会に（前回のご質問とも関連させて）いろいろ考えてみたいと思います。

ヨーヨーをゴム紐で回すと楕円軌道を描いて回る。「ゴムが弱くなって切れると、ヨーヨーは戻れません．」― はい、そうですね。放物線を描きながら飛んで、それから地上に落ちますね。「ヨーヨーが地球なら地球は楕円を戻ってこられません．」― ちょっと待ってください。いきなりゴム紐で回すヨーヨーと太陽の周りを回る地球とでは、（似たところもありますが）大きな違いがあります。「媒介項」をはさみましょう。それには、「両者の中間的な」人工衛星・ロケットで考えてみると具合がよいかもしれません。

そこで、地上のA点から斜め上に向けてロケットを打ち上げる場面を想定してください。
★ロケットの打ち上げにおける初速と軌道
(1) 打ち上げるときの速度が秒速８km未満であると、ロケットは大なり小なり放物線を描いて地上に落下する。
(2) ちょうど秒速８kmで打ち上げると、上空3.6 kmあたりで円軌道を描いて地球を24時間で１周する（いわゆる静止衛星になる）。
(3) 初速が秒速８kmより速くなると、軌道は楕円形になり、初速を上げていくに従って長楕円になり、ある点（秒速10 kmくらい？）から、軌道は楕円から放物線に変わる。もちろん、秒速８kmで打ち出して、空中で２km分を加速しても同じ結果になる。なお、放物線軌道では、長径との交点前後でより急な曲線となり、短径との交点付近ではより直線に近くなる。
(4) ロケットを秒速８×√2 kmで打ち出すと、A点とは反対側の長軸との交点（P）付近で停止する。つまり、これが放物線軌道の上限であり、これより高速で打ち出すと軌道は双曲線となり、ロケットは宇宙の彼方へ飛び去って行く。その方向は、いわゆる漸近線に限りなく近づいていく方向である。

ということで、次にヨーヨーや惑星も含め、「天体」の種類や軌道などについて問題点を考えてみます。
★ヨーヨーとロケット
運動の原理には共通部分があるかも知れませが、ヨーヨーの回転による遠心力とロケットの噴射による反作用推進力の違いは大きいですね。前者の場合、ゴム紐が切れたときの秒速はせいぜい数～数十m/s（運動野は地上）でしょうから、後者の数km/s（運動野は宇宙空間）とは比較すべくもありません。ただ、伸びたゴム紐がヨーヨーを手元に引き戻す力になるように、地球を太陽方向に引き戻す力があるのか、あるならその源は何か。それがあるとは思えない、という気持ちは分かります。それを理解するためには、宇宙を飛ぶロケットは、「そのロケットを秒速８kmとか８×√2 kmで打ち出したときと同じ力のエネルギーを内蔵している（逆向きのベクトルを地球から受けている）」と考えれば分かりやすいかも知れません。

★軌道としての円・楕円・放物線・双曲線
☆円と楕円
通常、惑星の離心率は大きくて0.2くらいですから、これは、視覚的にはほとんど円と同じです。軌道の向きを変える動きは、さほど急カーブを描かず、ほぼ円に準じるほど緩やかです。（想像するほど「地球が軌道の向きをかえる動き」の反要素とはなりません。）
☆楕円と放物線
楕円軌道といえば長楕円をイメージしがちですが、それは我々の脳内の映像で、その段階のロケット（人工衛星）は放物線軌道を描いて、P点付近で法線は垂直となり、人工衛星の公転速度は最も遅くなります。（このことは、「地球が軌道の向きをかえる動き」の促進要素となり得ます。「ケプラーの面積速度一定の法則」とも矛盾しません。）
☆放物線と双曲線
ロケットが秒速８×√2 kmで打ち出されると、上の(4）で見たとおりそれは放物線軌道を描いて長軸との交点付近まで行って、そこで静止するそうです。つまり、太陽系内の独立天体になります。また、秒速８×√2 km以上で打ち出されると、それは双曲線軌道を描いて運動する太陽系内の飛翔天体になるものと考えられます。

以上が、放送大の講義や前便の書いた文献を参照しながら私のたどり着いた結論です。信憑性のほどは自信の限りではありませんが、ともあれ、以前から心に引っ掛っていた問題を考え直すきっかけを与えてくれたご質問に感謝します。

お礼

ご回答ありがとう
＞通常、惑星の離心率は大きくて0.2くらい　・・ほとんど円と同じです。・・長楕円をイメージしがち・・P点付近で法線は垂直となり、人工衛星の公転速度は最も遅くなり・・「ケプラーの面積速度一定の法則」とも矛盾しません。）

超長楕円軌道を条件としましょう．ハレー彗星なんかだとします．
水ふうせんに長いゴムを首に結んで振り回すとアーラ不思議、風船が超長楕円軌道の彗星に早変わり。
　でもゴムの一方は焦点上の太陽、反対の端はふうせんの首、ゴムの線分はふうせんの重心を貫く直線に重なっている。
ゴムの端が焦点としたらこの楕円には焦点が一つしかない。
ゴムの長さをｘとする。
　焦点が一つしかないから、もしかすると楕円ではないのかもしれない。
　Q1　楕円か楕円でないのか？

もしゴム端ではないもう一つの焦点があるのなら、その長さをｙとして、
楕円ならば必ず
ｘ＋ｙ＝C
だ。
この式はゴムひもだけではよほどの技術でも満たせない。
けん玉名人が最高難度100回やって100回失敗なしでも、ゴム紐では満たせない．

だからQ1の答えは楕円ではない。
楕円を満たすには棒に２焦点を固定して、焦点のそれぞれを端にした長さCの伸びないひもをゴムの代わりにして、風船にじかには結ばず、風船とは風船に作った滑車に通すことで風船とつなげる．
糸がたるまないようにしながら、棒をゆすってヨーヨーに勢いをつけ、棒を止めた後、ヨーヨーを固定した棒の周りに１周回させれば楕円になる。

とすると惑星の公転にはなにかが、不足分の棒と糸を補っている．
なんだろうか？

　暑くなった？
暑くなった頭を冬のアイススケートを思い浮かべて涼んでみよう。
冬の夜空を眺めつつうす暗い氷の上をスケートしてみたらとても清々しい。
富士急ハイランドのスケート場であの夜は満天の星空だった。
あなたがスケートの選手だとしましょう。
アイススケートでアクセルやらルッツなんやらでスピンするときには角運動量の保存を自分の体で体験できます。うまくなると体を縮めて、回転モーメントを小さくすると回転速度を回りながら徐々に変えて早くしたりもできます。

しかし大きな楕円軌道のリンクコースに沿ってスケートするとき、角運動量の保存の作用を感じた事が私にはありません。
回答者にも、そして誰にもないと思います．
アイススケートでリンクのカーブを回っている時、走る足を止めれば、そのままカーブの接線方向に直進してしまったのです。
体を縮めても無駄でした。
ただし靴のエッジを傾ける曲げ技はフラットのまま使っていませんが使えば曲がります。
でもカーブ中なのにアイススケートの直進中足を止めれば、そのまま直進に滑ります。
そのとき惰性と呼ばれる慣性モーメントが働いたんだーと、自分の体で実感し納得できます．

　慣性モーメントは確かにあったのですが、角運動量や回転モーメントときたらリンクのカーブに実感できないのですから、角運動量の保存は存在しません。

私の体はゴムひもの伸び縮みのように焦点からの距離も、リンクの半円の中心からも距離が変わるので、焦点や中心から測るような回転モーメントは一定ではありません。

スピンなら体を徐々に縮めたとしても回転モーメントは存在しているようですが、スケートの場合には、リンクのカーブの条件に回転モーメントも特定したり定義できないとわかります。

原理なら、スケートにおいても惑星の公転と同じ効果が同じ結果を生むはずです．
しかし惑星の公転にあった結果がスケートに表れていない．

スケートリンクにないなにかが作用して惑星が公転しています．

Ｑ２　スケートリンクの周回コースのカーブ中の私やあなたに、角運動量は保存されていたでしょうか。いなかったでしょうか。

　文中にもう回答がありましたね。

さてアイススケートリンクを惑星の公転面とみなしてみましょう。

Ｑ３　リンク周回の公転面の惑星の役割をしたあなたは半円2個、どちらかのコーナーを曲がるために一方と何か違うことをしましたか、しませんでしたか？
ぴったり楕円軌道をなぞるにはなかなか技術が要ります。
でもどちらのコーナーにも力の配分、かじ取りには違いがなかったはずです。

すると惑星の公転にはスケートリンクの周回でリンクを曲がった時のようになにかの作用が近日点にも遠日点にも同じように働いたはずです．

話を戻して、夜店、おまつりのゴムのついたヨーヨーの周回軌道の作る平面も、それを公転面とみなしてみましょう。

Ｑ４　ヨーヨーの公転面でゴムが一番伸びるのはいつのどこでしょう。

ヨーヨーの公転面でゴムが一番伸びたとき、ゴムの力が切れるまで伸びきったらどうなりますか。ヨーヨーは戻ってこないし、ゴムが切れたらヨーヨーはすっとんでますね。

万有引力は距離の二乗に反比例ですから、遠日点の惑星はみな切れかけたゴムと同じです。
弱い力ではもう軌道には戻れないはずです。
なんで軌道にまた戻れるのでしょう。

だから軌道に戻る別の力、別の構造が作用している疑いがあります。

ここでケプラーの公転軌道は楕円を描くという法則を調べてみましょう。
楕円を描くとは論理が不十分な天下りの、まるで天命ですね。
宇宙には固定の２焦点も、伸びない糸もないのです。
楕円軌道を満たすには２焦点と全長長さの変わらぬ糸が必要です。
少なくとも放物線や双曲線ではない条件が必要です。
軌道に戻る別の力、別の構造が作用している疑いは、まだ晴れません。
疑いは深まる一方です。

ここでケプラーの公転軌道は楕円を描くと面積速度一定の法則を調べてみましょう。
数式にすると
L＝ｒｖsinθ＝const.
だそうです。
両辺にｍを乗積すると
ｍL＝ｍｒｖsinθ＝ｍ・c.
となって
の形はなんやら角運動量保存と似ています。
でもまってくださいよ。
なんか変だ。
角運動量保存とは回転運動をし続ける慣性のことだよ。
Q２とQ４で、それぞれ実物に回転運動が続かないことを実体験している。
だったら遠日点の惑星にまだ回転軌道をたどる運動が続くなら、Q２とQ４は違うなにかが
ｍｒｖsinθ
となるように作用を補っていることになります（A）。

Q１でヨーヨーは楕円軌道になれないと答えました。
太陽の万有引力はゴムひものような比例復元力と異なり遠くなるとひどく弱まるのです。
ならばケプラーの法則の楕円軌道のために、公転軌道が楕円軌道になるように足りない作用を補う構造が宇宙にはあるということです（B）。

Ｑ７　(Ａ)と(Ｂ)を満足するにはどんな構造が必要でしょう。
それは楕円軌道を維持する復元力です。
復元力の特徴は例えば例を挙げれば、起き上がりこぼしの姿勢を立たせる力です。
復元力は船の浮力と重心のバランスに船が姿勢を鉛直に保つようにも働きます。
　その力のありようをポテンシャルの傾きで表すとしたら、変分原理と姿が一緒です。
どうやら変分原理はケプラーの法則を成立させる陰の立役者に違いありません。

実はこの復元力を持った構造について、答えを出し私は知っています。

回答No.2

OKWave0365

形だけ似ているものを同じモノ扱いしても無意味です

お礼

ご回答ありがとう
形とおっしゃいますが、モデルで論じるのが物理の方法です．
物理の方法は定義を基本とします．

回答No.1

tetsumyi

ヨーヨーとは全く違う。
ヨーヨーは遠ざかるほど戻る力が大きくなるけど、太陽の引力は遠ざかるほど力が小さくなる。
ヨーヨーと比較しても参考にはならない。

お礼

ご回答ありがとう．
ヨーヨーとはどこが違うかを分析し、なにがあるべきか、どうあるべきか考えるのが思考です．
思い出して○×をつけるのは思考ではありません．
たとえばヨーヨーの改善策を考えてみれば、楕円を満たすには棒に２焦点を固定して、焦点のそれぞれを端にした長さCの伸びないひもをゴムの代わりにして、風船にじかには結ばず、風船とは風船に作った滑車に通すことで風船とつなげる．
糸がたるまないようにしながら、棒をゆすってヨーヨーに勢いをつけ、棒を止めた後、惰性でヨーヨーを固定した棒の周りに１周回させれば楕円になる。

とすると惑星の公転にはなにかが、不足分の名人の技術、あるはずの棒と糸を補っている．
なんだろうか？