判別式の判別式

質問

どの文字について実数解をもてばよいか、わからないので質問します。
問題は、
2次方程式 x^2-5x+6=m(x-a)・・・(1)が、すべての実数mについて実数解をもつような、実数aの範囲を求めよ、です。
(1)は、x^2-(m+5)x+ma+6=0となるので、(1)が実数解をもつ条件は、
{-(m+5)}^2-4(ma+6)≧0、m^2-2(2a-5)m+1≧0・・・(2)が成り立つことである。求める条件は、(2)がすべての実数mについて成り立つことであるから。(2)の左辺をmの2次関数とみて、1/4(判別式)=(2a-5)^2-1≦0(a-2)(a-3)≦0、 2≦a≦3
疑問点は(1)が実数解をもつ条件は、というところで、これはxが実数解をもつ条件で問題文にはそのようなことは書かれていない、とおもってしまいました。
自分の考えでは、(1)を(x-2)(x-3)=m(x-a) (ア)x-a=0かつ(x-2)(x-3)=0のとき、a=2または3と、(イ)x-a≠0かつ(x-2)(x-3)≠0　m={(x-2)(x-3)}/(x-a)と考え行き詰りました。
mを未知数として考えてはいけないのでしょうか？
どなたかxが実数解をもつ条件が含まれる理由と、m={(x-2)(x-3)}/(x-a)ではいけない理由を教えてくださいお願いします。

回答No.6

178-tall · ベストアンサー

>疑問点は(1)が実数解をもつ条件は、というところで、これはxが実数解をもつ条件で問題文にはそのようなことは書かれていない、とおもってしまいました。
>自分の考えでは、(1)を (x-2)(x-3)=m(x-a)　　(ア) x-a=0かつ(x-2)(x-3)=0のとき、a=2または3と、
　　　↑
x-a = 0 つまり x=a にて (x-2)(x-3) = (a-2)(a-3) が零になるとは限りません。
x=a は直線 y=m(x-a) の x 切片。これが放物線 y = (x-2)(x-3) の x 切片 2 と 3 の間にあるか否かがポイントらしい。

例示した「凸解析」風のアプローチが、直感的で判りやすい。
直感に頼りたくなけりゃ、「模範答案」の判別式で攻めるのがよさそう。

回答No.7

178-tall

>例えばa=1かつm=1のとき　(x-2)(x-3)=1*(x-1)、　x^2-6x+7=0、x=3±√2と交点のx座標がもとまりますが、これはa=1であるときたまたま放物線と交わるようなｍがあっただけで、a=1のときすべての傾斜ｍのなかには、放物線と交わらないｍもあるので、a=1は答えではないと考えるのでしょうか？

おっしゃるとおり、「a=1 であるときたまたま放物線と交わる」という例ですネ。

たとえば 直線 y = -(x-1) なら放物線 y = (x-2)(x-3) と交わりません。
放物線の (2, 0) における接線 y = -(x-2) と同じ傾斜で、かつ、その下方を通りますので…。

お礼

何回も解説していただき、ありがとうございます。

回答No.5

178-tall

x-y 座標のグラフで考えるのが判りやすそう。

y = (x-2)(x-3) のグラフは、x = 2 と x = 3 で x 軸に交わる「下に凸」な放物線。
　　　　　　↓
　(1) 2≦a≦3 のとき、点 (a, 0) を通る直線 y = m(x-a) は (すべての傾斜 m にて) 放物線 y = (x-2)(x-3) と必ず交わる。
　(2) 放物線 y = (x-2)(x-3) に対し x=2 および x=3 にて引いた接線は y = -(x-2) および y = x-3 。
　　　その下方にそれと平行に引いた直線 (x 切片が 2 未満、あるいは 3 超過) は、放物線 y = (x-2)(x-3) と交わらない。

補足

放物線y=(x-2)(x-3)と直線y=m(x-a)が交わるようなaの範囲が答えになると解釈しましたが、例えばa=1かつm=1のとき　(x-2)(x-3)=1*(x-1)、
x^2-6x+7=0、x=3±√2と交点のx座標がもとまりますが、これはa=1であるときたまたま放物線と交わるようなｍがあっただけで、a=1のときすべての傾斜ｍのなかには、放物線と交わらないｍもあるので、a=1は答えではないと考えるのでしょうか？よかったらお返事お願いします。

回答No.4

178-tall

訂正になってませんでした。

a＜2 あるいは 3＜a なら、その点 (a, 0) を通り、かつ放物線 y = (x-2)(x-3) と交わらない直線 y = m(x-a) が存在する。

お礼

自分の考えに合わせてもらいありがとうございます。理解できるようがんばります。

回答No.3

178-tall

錯乱箇所を訂正。

x＜a あるいは a＜x なら、その点 (x, 0) を通り、かつ放物線 y = (x-2)(x-3) と交わらない直線 y = m(x-a) が存在する。

回答No.2

178-tall

>自分の考えでは、(1)を(x-2)(x-3)=m(x-a)　(ア)x-a=0かつ(x-2)(x-3)=0のとき、a=2または3と、　(イ)x-a≠0かつ(x-2)(x-3)≠0　m={(x-2)(x-3)}/(x-a)　と考え行き詰りました。

この (ア) の論法の正しい先は？

直線 y = m(x-a) は、2≦a≦3 のとき、点 (a, 0) を通る。
その間にて、直線 y = m(x-a) は必ず放物線 y = (x-2)(x-3) と交わる。

x＜a あるいは b＜x なら、その点 (x, 0) を通り、かつ放物線 y = (x-2)(x-3) と交わらない直線が存在する。

… と言えそう。
(その放物線は「下に凸」だから)

回答No.1

jcpmutura

xが実数解をもつ条件が含まれる理由は

2次方程式
と書かれているから

x^2-5x+6=m(x-a)
は
x
についての2次方程式なので

mが実数解を持つという意味ならば
x^2-5x+6=m(x-a)
は
mについては1次方程式だから
この場合はmが実数解を持つという意味ではありません

2次方程式が実数解を持つといった場合は
x^2-5x+6=m(x-a)
の
式の中の2次変数は
x
だけだから
xが実数解を持つという意味になるから

まずxが実数解をもつ条件を求めなけばなりません

お礼

２次方程式が実数解をもつと書かれた場合、どの文字についての２次方程式か注意します。お返事ありがとうございます。