つるかめ算の発展形

質問

例えば商品が3種類あって、それぞれの単価と合計金額だけ分かっている場合、それぞれがいくつ売れたかを計算する式というのはあるのでしょうか。
　例として62円はがきと67円はがきと72円はがきがあるとして、合計で1288円分売れたとします。この場合、それぞれは5枚と6枚と8枚売れた結果なのですが、これを数式で算出できるのかどうか知りたいです。
　これが2種類だったらつるかめ算で単純に計算できると思いますが、3種類以上になった時の処理の仕方を知りたいです。
　よろしくお願いします。

回答No.1

OKwaver25 · ベストアンサー

問題文に条件の記載が少ないため、場合分けが必要な問題になります。算出方法の一例をご紹介いたします。

まず、求めるべき商品の枚数として、62円はがきをx枚、67円はがきをy枚、72円はがきをz枚と置き、合計枚数をnとします。

問題文から
62x + 67y + 72z = 1288 ・・・[1]

また、条件文より
x + y + z = n・・・[2]

次に、購入枚数を絞り込むため、商品を最大で購入できる場合、最小で購入できる場合を考えます。
・最大数で購入するためには、最安値の62円はがきのみを購入した場合(合計金額は1288円よりも安くならなければならない)のため、
62n < 1288
→ n < 20.77、nは整数のため、n < 20・・・[3]
・最小数で購入するためには、最高値の72円はがきのみを購入した場合(合計金額は1288円よりも高くならなければならない)のため、
1288 < 72n
→ 17.89 < n、nは整数のため、18 < n・・・[4]

最後に、今回の合計金額(1288円)の下一桁は8です。また、今回の商品単価はいずれも2または7なので、合計金額の下一桁を8にするためには、合計枚数が5(a+1)枚：4、9、14、19、24、29・・・である必要があります。・・・[5]

[3][4][5]より、合計枚数nが19枚であると導出できます。(n = 19 ・・・[8])

[2][8]より、
x + y + z = 19・・・[9]

[1][9]より、
62(x + y + z) + 5y + 10z = 1288
(62 × 19) + 5y + 10z = 1288
5y + 10z = 110
この式をつるかめ算にて解いて、y = 6、z = 8・・・[10]

[9][10]より、
x = 5となります。

※なお、今回の問題では、「3つの商品の単価が近いこと」、「3つの商品の単価の下一桁が2または7であり、合計金額の下一桁が8であること」という、恵まれた条件がございましたので、類似した問題でこのような条件がない場合には、更なる場合分けが必要になると思われます。

ご参考になれば、幸いです。

お礼

アドバイスいただきありがとうございます。
なるほど、よく分かりました。3種類以上になると、複雑な条件分けが必要になるんですね。難しいですが、大変参考になりました。ありがとうございました。

回答No.6

staratras

次のように考えると、はがきの合計枚数が19枚であることまではわかりますが、それ以上は一つの場合だけには決まらず、(1枚も買わない種類があってもよいとすれば）下に示す9通りの答えがあります。ご質問でお尋ねの場合もその一つです。なお1288は62,67,72のいずれの倍数でもないので1種類だけで1288円にすることはできません。

62円、67円、72円のはがきをそれぞれ、x,y,z枚買うとします。（x,y,zは負でない整数）
62x+67y+72z=1288
これを変形して
67(x+y+z)+5(z-x)=1288 …（１）

ここで1288/72<x+y+z<1288/62 よりx+y+z=18または19
x+y+z=18のとき（１）へ代入すると
5(z-x)=82 z-x=82/5 z=x+82/5 整数にならないので不適
x+y+z=19のとき（１）へ代入すると
5(z-x)=15 z=x+3、このとき　y=19-x-(x+3)=16-2x

したがって求める答えは(x,y,z)=(x,16-2x,x+3)順次代入すれば
(x,y,z)=(0,16,3)(1,14,4)(2,12,5)(3,10,6)(4,8,7)(5,6,8)(6,4,9)(7,2,10)(8,0,11)

一つだけの答えに導くには、たとえば一つの種類の枚数を示すなど、さらに条件を加える必要があります。

お礼

詳しいアドバイスをいただきありがとうございます。
よく分かりました。こうした問題は3種類以上になると急に複雑になるんですね。2種類のつるかめ算では太刀打ちできないことが分かりました。条件がそろわなければ解けないんですね。
ありがとうございました。

回答No.5

178-tall

>たとえば、はがき 3 種のうちどれか 1 種の売上げ枚数を知れば「一意解」を得る。

めでたく？ 「つるかめ算」へ戻ってしまいました。

回答No.4

178-tall

蛇足。

>たとえば x+y+z=19 のとき、5(y+2z)=110 となる自然数解があるけど、一意解じゃありません。
>　(x, y ,z) =
>　(8, 0 ,11), (7, 2 ,10), (6, 4 ,9), (5, 6 ,8), (4, 8 ,7), (3, 10 ,6), (2, 12 ,5), (1, 14 ,4), (0, 16 ,3)

たとえば、はがき 3 種のうちどれか 1 種の売上げ枚数を知れば「一意解」を得る。

回答No.3

bunjii

回答No.1でも指定されていますが、別の意味でも質問の要件が不足しているように思います。

>それぞれは5枚と6枚と8枚売れた結果なのです
答えを提示していますので下記の連立方程式を立てられます。
不明な値をx,y,zとすれば
x+y+z=19 ---------------------- ➀
x+y-z=3 ------------------------- ➁
62x+67y+72z=1288 --------- ➂
3元1次連立方程式を消去法と代入法で求めれば容易に不明な値を求められます。
質問の内容では答えの提示が無ければ➁の式が立てられませんので「つるかめ算」では計算不可と考えられます。

お礼

アドバイスいただきありがとうございます。
つるかめ算は非常に便利ですが、3種類以上になると、数学的にも急に複雑になるんですね。参考になりました。ありがとうございました。

回答No.2

178-tall

>例として62円はがきと67円はがきと72円はがきがあるとして、合計で1288円分売れたとします。この場合、それぞれは5枚と6枚と8枚売れた結果なのですが、これを数式で算出できるのかどうか知りたいです。

三元一次不定方程式
　62x + 67y + 72z = 1288
になる。

試しに
　62(x+y+z) + 5(y+2z) = 1288
と変形して試算すると？

たとえば x+y+z=19 のとき、5(y+2z)=110 となる自然数解があるけど、一意解じゃありません。
　(x, y ,z) =
　(8, 0 ,11), (7, 2 ,10), (6, 4 ,9), (5, 6 ,8), (4, 8 ,7), (3, 10 ,6), (2, 12 ,5), (1, 14 ,4), (0, 16 ,3)

お礼

アドバイスいただき、ありがとうございます。いろんな組み合わせの可能性がでてくるんですね。3種類以上になった場合は急に複雑になる気がします。
ありがとうございました。