確率 組み合わせ

質問

確率で、自分の計算の間違いを指摘していただきたく、質問します。問題は、
40人の生徒の中から、くじ引きで、委員長、副委員長、書記を各１人ずつ選ぶとき、特定の生徒Aについて、Aがそのどれかに選ばれる確率を求めよ。
というものです。
解答は、(39C2)/(40C3)でしたが、自分はこれにAが当たる可能性があるのは、委員長、副委員長、書記の３通りあるので、{(3*(39C2)}/(40C3)としてしまいました。なぜ3をかけてはいけないのでしょうか？39人の中から選ばれた２人が、2つ役をとっても、残った役は3通りになると思うのですが、どなたか、3をかけてはいけない理由を教えてくださいお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

問題を簡単にして
4人の生徒の中から、くじ引きで、委員長、副委員長を各１人ずつ選ぶとき、特定の生徒Aについて、Aがそのどれかに選ばれる確率を求めよ。
にしてみます。正解は(3C1)/(4C2)ですが，あなたの考えでは2*(3C1)/(4C2)なのですね。
それでは具体的に求めてみます。分母は4C2=6通りで以下の通りです。
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)
分子は3C1=3通りで以下の通りです。
(A，B)，(A，C)，(A，D)
分子に２をかけるのが正しいと思いますか？

「２人が、2つ役をとっても、残った役は3通りになる」というのは正しいですが，ここでは誰がどんな役になるかを気にしてはいません。
もしそれを気にして計算するのであれば3*(39C2)/(40C3)ではなくて(3*(39P2)/(40P3)としてください。順列として計算するときは役の順序を考えていますから，残った役は3通りということを考慮して3倍しなければいけません。

お礼

分子はAが含まれていればよい。ということが、簡単にした問題でわかりました。ありがとうございます。

回答No.3

staratras

この問題では「Aがそのどれかに選ばれる確率」を求めよと問われています。
つまり、役職を区別していないので、委員長、副委員長、書記という情報は本質的には不要で、この問題は言い換えれば次のようになります。

「40人の生徒の中から３人の役員を選ぶとき、特定のひとりAが選ばれる確率」

なお、余事象の 考え方で、求める確率＝1ー(Aが選ばれない確率 )として、
1ー(39C3／40C3)とすることもできます。

お礼

役職を区別しないので、区別は不要ということですね。日本語で適切に言い換えてくれて、ありがとうございます。

回答No.2

noname#231363

39C2で、例えばAの他にBとCが選ばれた場合、「Aが委員長」であっても「Bが副委員長でCが書記」の場合と「Cが副委員長でBが書記」の場合の2通りがあり、これは「Aが副委員長」「Aが書記」であっても同様に2通りずつになるので、計2×3=6通りになります。
これを、3P3=6通りと考えることもできます。
また、40C3で、例えばBとCとDが選ばれた場合についても全く同様です。
よって、解答の分母と分子に6を掛けることになりますが、約分するとこれが消えてしまいます。

お礼

委員長、副委員長、書記、の割り振りは、分母にも関係していて、確率を計算するとき、約分されるのですね。簡潔な説明ありがとうございます。