次の電磁気学の問題の解答解説をお願いします。

質問

図のように3本の無限に長い平行導線1,2,3(上の頂点が1,左下2,右下3)が互いに並行かつ断面が一辺の長さがa[m]の正三角形をなすように置かれている。各導線には同じ大きさの電流I[A]が図のように流れている。真空の透磁率をμとする。

(1)正三角形の中心oにおける磁束密度の大きさと方向は?
(2)各導線に働く1[m]あたりの力の大きさと方向は?

回答No.1

phy_bio_inf322 · ベストアンサー

1)
右ねじの法則より
三角形の中心oにおいて
1のつくる磁束密度は図の左向き
2,3のつくる磁束密度を合わせると上下打ち消しあって結局左向きの成分だけ残ります
よって1,2,3のつくる磁束密度の向きは図の左向き

無限に長い導線に電流Iが流れているとき距離rの位置につくる磁束密度の大きさは、アンペールの法則より
B＝μI/2πr (1)
これは距離rにのみ依存する。
三角形の中心oから各導線までの距離はa/√3
1のつくる磁束密度の大きさはそのまま足せばいい。
2,3はそれぞれcos成分のみを足せばいいので

2,3のつくる磁束密度の大きさ
B2+B3＝μI/2π(a/√3)× cosπ/3 × 2 ＝(√3)μI/2πr

3本の導線のつくる磁束密度の大きさは、重ね合わせの原理より
B＝B1+B2+B3＝(√3)μI/πr [T]

2) 二本の平行な導線があったとき1mあたりに及ぼしあう力の大きさは
電流Iがもう一方の導線の位置につくる磁束密度は(1)より
B＝μI/2πa
電流と磁束密度は直角に交わるので力の大きさは
F＝μI^2/2πa [N/m] (2)

右ねじの法則とローレンツ力を考慮すると
電流の向きが同じとき→引力
電流の向きが反対のとき→斥力
であるから、
1の導線には、2,3から斥力が働く
2,3からの斥力の和は左右方向は打ち消して上方向のみが残るので、
1に働く力は(2)より
F1＝μI^2/2πa × cosπ/6 ×2 ＝(√3)μI^2/2πa [N/m]
向きは図の上向き

2の導線には、1から斥力、3から引力が働く
その合力は
F2＝μI^2/2πa × cosπ/3 ×2＝μI^2/2πa [N/m]

三角形の中心oから導線2への位置ベクトルをr2→
導線2の電流の流れる向きの単位ベクトルをt→とすると
導線2に働く力の向きは
r2→とt→の外積によりできるベクトルの向き

三角形の中心に対して左右対称であるから
対称性より
F3＝F2＝μI^2/2πa [N/m]
三角形の中心oから導線3への位置ベクトルをr3→とすると
導線3に働く力の向きは
r3→とt→の外積によりできるベクトルの向き

ちなみに、
F2+F3
＝μI^2/2πa× cosπ/6 ×2
＝(√3)μI^2/2πa [N/m]
(下向き)

なので、
上向きのF1と打ち消して
全体で考えるとF=0

お礼

ありがとうございました。これからもよろしくおねがいします。