5x^4 +12x^3-12x^2-32x=0

質問

y’=5x^4 +12x^3-12x^2-32x　から最大値などを求めたいので
5x^4 +12x^3-12x^2-32x=0　としました。

この計算に苦戦しています。
(x+1)(x-1)(x+2).....(x-32)でも見つかりません。
(5x+1)(5x-1)(5x+2)....とやっていくと物凄く時間がかかります。
試験の時にこんな計算をしている時間は無いと思うのですが、早道はありますか？
皆様はどの様に計算されているのですか？

回答No.5

startdashjp · ベストアンサー

ゴリゴリ計算できる計算力をつけるのも一つの手段ですが、そうはいってもしんどい計算はたくさんありますよね。

そもそも与式が因数分解できるかどうかわからないことが多いので、私はなら、おおよそのあたりをつけるためにグラフ化してグラフの形を求める方針を取ります。最大値など、グラフの特徴をつかみたいならグラフ化が良いと思います。

グラフの概形を把握するには、極値・変曲点がわかれば大体わかります。
y'でグラフの形がわかりづらければ、もう一回微分すればいい話です。

今回の場合ですと、
y'=5x^4 +12x^3-12x^2-32xとありますので、もう一回微分しますと、
y''=4*(5x^3+9x^2-6x-8)となります。
y''は通常ならyの変曲点を調べるのに使用しますが、同時にy'の増減表を調べるのにも使用できます。

y''=4*(x+2)(5x+4)(x-1)と因数分解できるので、
x=-2,-4/5,1あたりに気を付けてy'グラフを書くと、どの辺にy'=0があるか推定できるので、計算する場所を絞ることができ、闇雲にやるよりははるかにマシな時間で答えを出せると思います。

最後に計算力にもよりますが、計算量が比較的少なくて済むx=±2,±1,0の範囲で因数分解できるなら普通に因数分解をした方が良いと思います。

お礼

はじめに、
まず(x+2)で計算した時に計算ミスをしていた事に気づきました、すみません。:(

なるほど、２回微分をすると確かに因数分解もし易くなるし元のグラフの形もかなりわかってきますね。

最後に下さったアドバイスも納得です。

有り難うございました。

回答No.4

noname#231195

x⁴ +12x³-12x²-32x＝x(5x-8)(x+2)²
でしょう？
だから
x＝0
x＝8/5
x＝-2
のところに極値があるわけです。

>早道はありますか？
だから、因数分解の計算練習をするんでしょう？
十分練習すれば、眺めているだけで因数分解できます。

この式の場合、
(5x²+_A_x+_B_)(x+_C_)x
というような感じになっているのは容易に想像できます。
でBとCの積が-32なのですから、その組み合わせは16×2とか8×4なんだと思います。
例えば
(5x²+_A_x-16)(x+2)x
を試してみます。
-16と2は逆じゃないですね。5×16と2×Aとの差が12であるべきなんですから(+12x³)、Aがよっぽど大きくないとうまく当てはまりそうにないです。
(5x²+_A_x-16)(x+2)xとした場合、Aが2ならうまくいきそうです。
(5x²+2x-16)(x+2)x
これを展開してみると、確かにx⁴ +12x³-12x²-32xになりますから、この方向で間違いないです。

(5x²+2x-16)の部分はまだ因数分解できそうです。
-16というのがありますから、8×2というのが当てはまるかもしれません。4²はたぶんないでしょう。(Ax+B)²という風に因数分解出るなら、もっと特徴的な式の形になっているはずです。
で、試しに
(5x-8)(x+2)
としてみます。
展開すると、確かに(5x²+2x-16)となるわけです。

お礼

すみません、まず(x+2)で計算した時に計算ミスをしていた事に気づきました。

考え方を丁寧に見せて頂き有り難うございます。とても勉強になります。

回答No.3

tmppassenger

何というか、やっぱり計算力って馬鹿にならないんですよね。
計算でガリガリ解かないとどうしようもない大学入試問題は山程あって、東大のような大学でもそんな問題を出します。

お礼

為になるお話です、有り難うございます。

回答No.2

tmppassenger

> 5x^4 +12x^3-12x^2-32x=0　としました。
> (x+1)(x-1)(x+2).....(x-32)でも見つかりません。

もう一回(x+2)、つまりxに-2を代入して計算してみましょうか...

お礼

有り難うございます

回答No.1

asuncion

＞y’=5x^4 +12x^3-12x^2-32x　から最大値などを求めたいので
＞5x^4 +12x^3-12x^2-32x=0　としました。

y’でいいんですね？yじゃなくて。
仮にyが正しいとします。当該の関数をWolframあたりに
食わせてみると、最小値や極大値・極小値は求まりそうです。
ただ、最大値は求まりそうにありません。なぜなら、4次の係数が
正だからです。

お礼

すみません、y’でいいです。　

＞最大値は求まりそうにありません。なぜなら、4次の係数が正だからです。
勉強になります。

有り難うございました。