平行四辺形の定義と性質について

質問

現在某学習塾で塾講師としてアルバイトをしている大学生です。

先日中学2年生の生徒に平行四辺形の定義と性質について教えていたのですが、その生徒からとある質問をされ、そのことに対して明確な説明ができませんでした。以下にその内容を書きます。

平行四辺形の定義を

"二組の対辺がそれぞれ平行な四角形を平行四辺形とする"

性質は

(1)二組の対辺はそれぞれ等しい
(2)二組の対角はそれぞれ等しい
(3)対角線はそれぞれの中点で交わる

である。

これを教えたところ、その生徒は、(1)～(3)の性質がなぜ平行四辺形の定義とされていないのか、それら性質が定義とされていても良いのではないのかという質問をしてきました。
(つまり、平行四辺形の定義は"二組の対辺がそれぞれ等しい四角形を平行四辺形とする"または"二組の対角がそれぞれ等しい四角形を平行四辺形とする"、"対角線がそれぞれ交わる四角形を平行四辺形とする"と、なぜ言われていないのか)

私自身は、

"二組の対辺がそれぞれ並行な四角形"を初めて発見した人が「平行四辺形」という名前を付けて、そう定義付けたとし、その結果として、(平行四辺形が)(1)～(3)という性質を伴っていたにすぎない。その為平行四辺形は上記のような定義と性質になっている...

と思ったのですが、それは推測にすぎないため、その生徒には答えを保留しております。

どなたか明確な回答を持っている方がいらっしゃいましたら、よろしくお願いします。

回答No.2

noname#231195

平行四辺形という名前のものを定義するときに一番ぴったりくるものが
"二組の対辺がそれぞれ平行な四角形を平行四辺形とする"
ということだ、ということじゃないですか？

実際的な話をすれば、どれを定義とよんでもかまいません。みんな同じことを言っているのですから。
「同じことを言っている」というのはこういうことです。
例えば「二組の対角がそれぞれ等しい四角形」は必ず「二組の対辺がそれぞれ平行な四角形」になります。ということは、この二つは同じ事を言っているのです。
ですからある図形が平行四辺形であることを示すのに、その"定義"と"性質"の4つのうちの一つと合致すれば、それで十分です。

しかし、平行四辺形の定義として「二組の対角がそれぞれ等しい四角形」というと、そういう四角形は二組の対辺がそれぞれ平行になる、だから平行四辺形というのだ、というのは煩わしいし、今度は「名前がふさわしくない」とかいう生徒が出てきそうです。だから、「二組の対辺がそれぞれ平行な四角形」と定義することにするのでしょう。
もちろん歴史的にまず「二組の対辺がそれぞれ平行な四角形」に注目したから平行四辺形という名前を付けたのだとは思っています。おそらくユークリッドの「原論」で平行四辺形をそう定義しているからそれを二十数世紀にわたって踏襲しているのでしょう。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/proof201.htm

回答No.1

noname#214634

ざっくり書くと、定義は「全世界共通の（図形の）お約束」。
あるものについて語るとき、認識が共通していないと話が通じないため
定められた「特徴」。他にそれを指し示す特徴（性質）はあっても
定義として認められないのは「世界がそれを定義として受け入れてないから」
どの図形も定義って一個しかないのじゃないかな。

性質はそれ以外にも特徴として見られるもの。

ざっくり書く、といった理由はググったらもっとちゃんとした理由があっさり見つかって
流石にそれをまとめて書いたり転載したりする気にはなれなかったからです。
大学生なら、大学にも詳しい話を聞かせてくれる人がいるんじゃないでしょうか？
また、もう少し自分で調べてみても良いんじゃないでしょうか。

ググったキーワードは「数学　性質　定義」でした。