観測地点から人工衛星までの距離について

質問

こんにちは、早速質問なのですが、観測地点の緯度・経度、観測地点から見た人工衛星の仰角・方位角、人工衛星の高度が分かっている場合の、観測地点から人工衛星までの距離の求め方ってありますか？

初学者ですので、できれば丁寧に教えてくださると嬉しいです。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

teppou · ベストアンサー

可能ですが、かなり面倒です。
　観測者から衛星までの距離を x
　地球の半径を R
　衛星から地表までの高さを h
　水平線から衛星までの角度を θ
　地球の中心と衛星を結ぶ線と、地球の中心と観測者を結ぶ線のなす角を α
　とします。
　そうすると
　(R + h)sin α = xsin(90°- θ)　　　→　sin α = (xsin(90°- θ))/(R + h)
　(R + h)cos α - R = xcos(90°- θ)　→　cos α = (xcos(90°- θ) + R)/(R + h)
　それぞれの式を二乗して辺々加え合わせると、
　左辺は (sin α)^2 + (cos α)^2 = 1 となりますので
　あとは奮闘努力して、x = ... の式に直してください。私にはこれ以上式を変形する根性がありません。
　二次方程式になると思いますが、解けるはずです。
　もっとうまいやり方があるかもしれませんが、これを思いつきましたので、回答してみました。

回答No.5

kagakusuki

回答No.3様の御回答に補足させて頂きます。

(sinθ)^2＋(cosθ)^2＝1

なのですから、

x=-Rsinθ+√((Rsinθ)^2+2Rh+h^2)

という事でしたら

x=-Rsinθ+√((Rsinθ)^2+2Rh+h^2)
=-Rsinθ+√((Rsinθ)^2+(Rcosθ)^2+2Rh+h^2-(Rcosθ)^2)
=-Rsinθ+√(R^2((sinθ)^2+(cosθ)^2)+2Rh+h^2-(Rcosθ)^2)
=-Rsinθ+√(R^2+2Rh+h^2-(Rcosθ)^2)
=√((R+h)^2-(Rcosθ)^2)-Rsinθ
=R(√(((h/R)+1)^2-(cosθ)^2)-sinθ)

と変形した方が計算しやすくなるかも知れません。

回答No.4

staratras

No.3です。少し補足しますと、地球を平面と考えると、話は単純でx=h/sinθです。
実は観測者と衛星との距離が小さいとき（衛星の高度は低く、仰角は高くなりますが）には、このような大まかな近似でも、かなり正しい値が得られます。

例えば、地球半径を６３００kmとし、仰角６０度で衛星の高度が500kmの場合、No.3の式では約571km、平面と仮定した計算では５７７kmです。

回答No.3

staratras

グラフで考えるとわかりやすいかと思います。地球は完全な球体と仮定します。下のグラフは地球の中心O、観測者A、衛星Sの3点を含む平面で切った断面図で、θは衛星の仰角、hは衛星の地表からの距離です。地球の中心Oを原点、AをY軸上の点、地球半径をR、観測者と衛星の距離をx（スモールx）とすると、
地表を表す式は　X^2+Y^2=R^2　で　A(0,R)、S(xcosθ,xsinθ+R)だから、

OS=√((xcosθ)^2+(xsinθ+R)^2)=√(x^2+2Rsinθx+R^2)

h+R=OS に代入して両辺を2乗すると
h^2+2hR+R^2=x^2+2Rsinθx+R^2
x^2+2Rsinθx-(h^2+2Rh)=0

x=-Rsinθ±√(Rsinθ)^2+2Rh+h^2)
題意からx>0 だから正の解を採って
x=-Rsinθ+√((Rsinθ)^2+2Rh+h^2)

回答No.1

mpascal

三次元の座標計算の問題なのでしょうが、ここらあたりを見てみてください。

http://k-unet.org/?page_id=1442

お礼

ご回答ありがとうございます。

一応、教えていただいたサイトに載っている、http://homepage1.nifty.com/aida/jr1huo_calsat32/Calsat32Karakuri.htm
のページも見たのですが、これは軌道要素で軌道が分かっている状態から、ある時刻における観測地点からの人工衛星の位置を求めるものですよね？

自分的には、軌道要素を使わず、初めに質問した条件から距離を求められないかなと考えています。
やはりそういうのは無理なのでしょうか？
なんとなく、これだけ条件があれば位置が特定できそうだと思うのですが。