大学入試 数列の問題です。

質問

数列１０、２２、４１、７４、・・・・・は、初項がア、公差がイの等差数列と、初項がウ、公比がエの等比数列の和で表すことができる。　この問題の解答をお願いします。

回答No.2

yyssaa

＞等差数列をa,a+d,a+2d,a+3d,......
等比数列をs,sr,sr^2,sr^3,......とすると
10=a+s・・・・・・・・・・・・・(ア)
22=a+d+sr・・・・・・・・・・(イ)
41=a+2d+sr^2・・・・・・・(ウ)
74=a+3d+sr^3・・・・・・・(エ)
(ア)からs=10-a・・・・・・(オ)
(イ)～(エ)に代入
22=a+d+(10-a)r・・・・・・・・・・(イ')
41=a+2d+(10-a)r^2・・・・・・・(ウ')
74=a+3d+(10-a)r^3・・・・・・・(エ')
(イ')からd=22-a-(10-a)r・・・・・・・(カ)
(ウ')(エ')に代入
41=a+2{22-a-(10-a)r}+(10-a)r^2
=44-a-2(10-a)r+(10-a)r^2
=34+(10-a)-2(10-a)r+(10-a)r^2
(10-a)(1-2r+r^2)=7・・・・・・・(ウ'')
74=a+3{22-a-(10-a)r}+(10-a)r^3
=66-2a-3(10-a)r+(10-a)r^3
=46+2(10-a)-3(10-a)r+(10-a)r^3
(10-a)(2-3r+r^3)=28・・・・・・・(エ'')
(ウ'')/(エ'')
(1-2r+r^2)/(2-3r+r^3)=7/28
4(1-2r+r^2)=(2-3r+r^3)
r^3-4r^2+5r-2=0
(r-1)^2(r-2)=0→r=1,2
r=1では(1-2r+r^2)=0で(ウ'')が成り立たない
ので、r=2
(ウ'')に代入a=10-7/(1-2r+r^2)=10-7/(1-4+4)=3
以上を(カ)に代入
d=22-a-(10-a)r=22-3-(10-3)*2=5
a=3を(オ)に代入
s=10-a=10-3=7
以上から
ア＝３、イ＝５、ウ＝７、エ＝２・・・答
検算
初項がア、公差がイの等差数列：3,8,13,18,...
初項がウ、公比がエの等比数列：7,14,28,56,...
両数列の和：10,22,41,74,...

回答No.1

gohtraw

初項がa0、公差がdの等差数列の一般項は　an=a0+(n-1)d
初項がb0、公比がrの等比数列の一般項は　bn=b0・r^(n-1)

n=1の時を考えると　a0+b0=10
n=2の時を考えると　a0+d+b0・r=２２
n=3の時を考えると　a0+2d+b0・r^2=41
n=3の時を考えると　a0+3d+b0・r^3=74

これで変数4個、式４個になり、連立方程式が解けるはずです。

お礼

ありがとうございました。参考になりました。