電界の大きさ 求め方

質問

1【m】あたり、+0.50マイクロ【C】に帯電した無限長の直線帯電体が空気中にあるとします。このとき、帯電体から2.5【cm】離れた場所に作られる電界の大きさの求め方を教えてください。

まったくわからなく、すごく困っています。回答よろしくお願いいたします。

回答No.2

remokon · ベストアンサー

復習がてら、考えてみました。
答えも出ていますが、久しぶりの電界の問題で自信がないです。
要望があったら、公開を考えます。でも、答え合わせをしたいので、解答を教えて下さい。

図：
http://fast-uploader.com/file/6977438096523/

+0.50マイクロ【C】→これをA[C/m]とする。

原点Oから距離xだけ離れた位置の、微小距離dxにはA dx[C]の微小電荷がある。
この微小電荷が、この直線から距離B[m]離れた場所Pに作る微小な電界の強さdE1は
　　dE1=(A dx)/(4 pi e0 r^2) ... (1)
これを積分する（∫dE1=E1）と電界の強さが得られそうですが、
ベクトルは積分できない（dE1の向きはxによって変わるし）。
しかし図からdE1 = dE2 + dE3であり、x > 0側のdE2とx < 0側のdE2は打ち消し合う。
残るdE3の向きは一定なので、これは積算できる。

斜辺rとBの角度をθとすると、

　　θ=tan-1(x/B) ...(2)
　　dE3 = dE1 x cos(θ) ...(3)
　　r^2 = B^2 + x^2 ...(4)

上記(2), (3), (4)式を(1)に代入するとdE3, dxだけの式が出来上がるので
　　dE=f(x)dx
にして、両辺を定積分する。積分区間は0から∞。
これはx > 0分だけなので、x < 0分も入れるには答えを二倍する。

お礼

遅くなり申し訳ありません。
回答ありがとうございました。
3.6×10^5V/mが正しいそうです。
これからもよろしくお願いいたします。

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

＞D=ρ/(2πr)

補足しておくと、電界が 直線帯電体を中心に放射状になっているとすると

直線帯電体を中心とする半径rの円筒の側面上での電束密度 D =
長さ 1 mの直線帯電体の電荷(ρ x 1 m) ÷ 長さ 1 m 半径rの円筒の側面積(2πr x 1 m)

ガウスの定理:
電束は電荷から発生するが、それ以外からは発生せず、増えたり減ったりしない。
→閉局面上の電束密度を面積分すると、閉局面に含まれる電荷になる。

電荷は水の吹き出し口で、電束密度は水流と考えるとわかりやすいです。
電界と直交し、電界の強さが一定になる面を見つければ、電界を暗算で計算できます。

お礼

何度もありがとうございました。
勉強になりました。

回答No.6

remokon

「ガウスの定理」って、記憶にありますね。
いまから復習します。

でも、折角計算したので、結果報告。
tknakamuriさんのと一致しています。
ビオバザールとか出てきたら、結局積分する問題が出るので、役に立つと思います。

assume(B > 0)$
r2:x^2+B^2$
dE1 : (A * dx)/(4 * %pi * e0 * r2);
dE3 = dE1 * B/sqrt(B^2+x^2);
rhs(%)/dx;
integrate(%, x, 0, inf);
%*2;

(%i4) r2:B^2+x^2
(%i5) dE1:A*dx/(4*%pi*e0*r2)
(%o5) dx*A/(4*%pi*e0*(B^2+x^2))
(%i6) dE3 = dE1*B/sqrt(x^2+B^2)
(%o6) dE3 = dx*A*B/(4*%pi*e0*(B^2+x^2)^(3/2))
(%i7) rhs(%)/dx
(%o7) A*B/(4*%pi*e0*(B^2+x^2)^(3/2))
(%i8) integrate(%,x,0,inf)
(%o8) A/(4*%pi*e0*B)
(%i9) %*2
(%o9) A/(2*%pi*e0*B)

お礼

本当にありがとうございます。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

まちがい。やり直し。
2πrD=ρ (r:中心からの距離、D:電束密度 ρ:電荷密度)
D=ρ/(2πr)
E=D/ε=ρ/(2πrε)

お礼

何度もありがとうございました。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

πr^2・D=ρ (r:中心からの距離、D:電束密度 ρ:電荷密度)
D=ρ/(πr^2)
E=D/ε=ρ/(πr^2・ε)

お礼

遅くなり申し訳ありません。
回答ありがとうございました。

これからもよろしくお願いいたします。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

ガウスの定理を知っていれば
簡単に求まります。

積分不要。

お礼

遅くなり申し訳ありません。
回答ありがとうございました。

これからもよろしくお願いいたします。

回答No.1

remokon

＞まったくわからなく、すごく困っています。

定義から求める場合には、定積分を使う必要があります。
あなたは定積分を使いこなしますか？

お礼

遅くなり申し訳ありません。
回答ありがとうございました。
3.6×10^5V/mが正しいそうです。
これからもよろしくお願いいたします。