単振動と円運動

質問

電車の天井に、長さLの糸で質量mの小球Pがつるされて点Aにある。静止していた電車が水平方向に等加速度運動を始めると、Pは糸が鉛直と角θをなすAB間(Aから見てBは左斜め上)で振動した。Pの運動は車内の人が見るものとする。また、重力加速度をgとする。

問題1 電車の加速度を求めよ。

解法
AB間の中間点Cが振動中心で力が釣り合う位置である。左向きの慣性力と重力の合力が張力と釣り合う。よって、mα=mgtan(θ/2) α=gtan(θ/2) 尚、mg'cos(θ/2)=mg より、見かけの重力加速度g'は、g'=g/{cos(θ/2)} となる。

問題2 Pの速さの最大値と糸の張力の大きさを求めよ。

解法
見かけの重力mg'の元では、直線ABが水平線となる。点Aから動き出したPは最下点Cで最大の速さV_maxとなる。
力学的エネルギー保存則より
mg'{L-Lcos(θ/2)}=(1/2)*(v_max)^2
v_max=√[2g'L{1-cos(θ/2)}]=√[2gL{1/(cos(θ/2)) -1}]

次に張力が最大S_maxとなるのもCを通る時で、遠心力を取り入れて、力の釣り合いより
S_max=mg' + m*{(v_max)^2/L}=mg*{3/(cos(θ/2)) -2}

質問ですが、問題2で張力の最大値を求める際,なぜ遠心力が出てくるのかが分かりません。
問題1の解法に、『点Cにおいて、重力と左向きの慣性力の合力、つまり見かけの重力が張力と釣り合う』とあったので、S_max=mg'になると思いました。しかし、問題2の解法には、同じ点Cでの力の釣り合いを表しているのにも関わらず、見かけの重力に遠心力を足したものが張力と釣り合うとあります。一体これはどういう事でしょうか?
問題1の解法の点Cでの力の釣り合いと、問題2の解法の点Cでの力の釣り合いは別物なのでしょうか??

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

問1の問題で重要なのは、電車の中の人にとっての"下"とはどの向きか、ということです。
当然、床のある方向、床に垂直な向き、ではありません。少し斜めになっています。

では、"下"とはどの向きになるのでしょうか。
振り子が揺れているとき、支点から揺れの中心の向きが"下"なのです。問1で問われているのは単に"下"の向きであり、その方向が"下"となるために必要な横向きの慣性力の大きさを求めることだけです。
問1では振り子の揺れで問題となるのはその中心の方向だけであり、物体Pの動きとかは全然考えなくてよいのです。ぶっちゃけ、向きさえわかれば別の物体を持ってきて考えてもよいのです。

静止状態と振り子が揺れている状態では糸の張力は異なります。遠心力がかかるため揺れている状態のほうが張力が大きくなります。

あと、一つ指摘しておきます。
向心力を入れたつり合い、という言葉を使っていますが、言葉としてそんなものはあり得ません。
なぜなら、向心力が働いている状態はその方向の加速度が0ではない状態です。つまり、力が釣り合っているということはあり得ません。

回答No.1

rnakamra

>問題1の解法の点Cでの力の釣り合いと、問題2の解法の点Cでの力の釣り合いは別物なのでしょうか??

別物です。
問題1でのちからのつりあいは点Cでとまっていると仮定した場合での力の釣り合いです。
弧ABの中点CにおいてPを止めるとそのままずっととまっているという意味での釣り合いです。

問題2における力のつりあいは、振動している運動時にPから見たCにおける力の釣り合いです。
Pとともに動く系においてはPは静止しています。つまり、Pに働く力はつりあっているのですが、Pとともに動く系においては遠心力が働いているのでその点もつりあいに入れる必要があります。
なお、電車の中の人とともに動く系では遠心力という力は働きません。あくまで張力が引っ張ることで支点に向いた向心力が働くと考えないといけません。
その場合は張力-見かけの重力=向心力、つまり
S_max-mg' = m*{(v_max)^2/L}
という式になります。

補足

回答ありがとうございます。
すみませんが、またいくつか疑問が浮かんできたので補足させてください。

問題1においての『振動せずに止まっていると仮定した上で式を立てる』という事についてです。なぜ振動している振り子を止まっていると考える事ができるのでしょうか。例えば最初から電車の中の人から見てθだけ傾いて止まっている振り子(振動していない)の場合、慣性力をmαとすると、mα=Tsinθという式が成り立つと思います。
しかし、この振り子は振動中なので、回答の最後にご指摘があった様に電車の中の人から見ると向心力がPに働いていると思うのですが、向心力を釣り合いの式にいれなくてよいのでしょうか?

次に問題1の釣り合いの式が成り立つとすると、糸の張力をT、見かけの重力をmg'とすると、T=mg'という式が成り立つと思うのですが、これは問題2の振動中の振り子の糸の張力の最大値S_maxよりも小さいという事でしょうか? 振動中の振り子の糸の張力と、静止している振り子の糸の張力は異なるという事でしょうか?