無効電力の導出方法

質問

無効電力Q=VIsinθの導出方法が分かりません（力率から計算する方法ではなく）。

「無効電力はリアクタンスで充放電される電力」というのがヒントになると思うのですが、
これを式で表すことができません。

よろしくお願いします。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

e=Ldi/dt
e=(V/√2)sinωtとすると(Vは実効値)、
Vsinωt=Ldi/dt
積分して、
(V/(√2)ωL)cosωt=i

電力
Q=ei
=-(V/(√2)ωL)cosωt・(V/√2)sinωt
-(V^2/ωL)sin2ωt

容量性もリアクタンスも同様に、
i=Cde/dt=(VωC/(√2))cosωt

Q=ei
=(VωC/(√2))cosωt・(V/√2)sinωt
(ωCV^2)sin2ωt

∫_[0～π/2]sin2ωtdt=1より実効値は
Q=ωCV^2、Q=-V^2/ωL　(-は複素平面上での取り扱いに対応)
無効電力の合成はQ'＝V^2/(-ωL+1/ωC)となり、インピーダンスはリアクタンス成分の合成として表される。

リアクタンス成分のインピーダンスZ’はそれぞれZ’=1/ωC、Z’=ωL
すると、Q=V^2/Z’=Z’I^2
ここでの電圧Vはリアクタンス成分の電圧であるので電源電圧Eを基準に取ると、電流Iは合成インピーダンスZを用いて
I=E/Z

リアクタンスの合成インピーダンスをZ'と改めると
Q=Z’I^2=(Z’/Z)IE
リアクタンス成分のインピーダンスは複素数、抵抗成分は実数であるので(そういう数学体系を採用している。)、実効インピーダンスZ=√(R^2+Z'^2)を採用する。
複素平面上でのZ’/√(R^2+Z'^2)は実軸から実効インピーダンスベクトルの間の角をθとすると
Z’/√(R^2+Z'^2)=sinθとなる。

故にQ=(Z’/Z)IE=EIsinθ

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

訂正です。

>∫_[0～π/2]sin2ωtdt=1より

(ω/π)√(∫_[0～π/ω]sin^2 2ωtdt)=1より