複素積分の問題が解けません

質問

問題は画像にあります
問Aの答えが8/15+5/6iとなるのですがどうしても答えが合いません

問Bのcosを使わない解き方とはどのようなものでしょうか？

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

問Aは
ZZ~=(t+t^2i)(t-t^2i)=t^2+t^4
dz=dt+2tdti=(1+2ti)dt
∫[c]ZZ~dz=∫[t=0→1](t^2+t^4)(1+2ti)dt
=∫[t=0→1]t^2dt+2i∫[t=0→1]t^3dt
+∫[t=0→1]t^4dt+2i∫[t=0→1]t^5dt
=(t^3/3+2it^4/4+t^5/5+2it^6/6)[t=0→1]
=1/3+i/2+1/5+i/3=8/15+5i/6

お礼

ありがとうございます

回答No.4

info22_

残りの問Bについて

公式sin(z)={e^(-t)-e^t}/(2i)を用いて

I=∫[C]{e^(iz)-e^(-iz)}/(2i) dz, C:0→i
積分路Cを書き換えて
　C:z=ti,t:0→1
　dz=idt
より

I=∫[0,1]{e^(-t)-e^t}/(2i) idt
=(1/2)∫[0,1]{e^(-t)-e^t}dt
=(1/2)[-e^(-t)-e^t][0,1]
=(1/2)(2-(1/e)-e)
=1-(e/2) -{1/(2e)}

と求まります。

お分かりになりました？

お礼

非常に分かりやすい回答ありがとうございます

回答No.3

yyssaa

問Bは
e^(iz)=cos(z)+isin(z)だから
∫[z=0→i]sin(z)dz=-i∫[z=0→i]e^(iz)dz+i∫[z=0→i]cos(z)dz
=-i{e^(iz)/i}[z=0→i]+i{sin(z)}[z=0→i]
=-i{e^(ii)/i-e^(0)/i}+i{sin(i)-sin(0)}
=-1/e+1+isin(i)=-1/e+1+i[{e^(-1)-e^(1)}/2i]
=-1/e+1+1/2e-e/2=1-e/2-1/(2e)
とでもやるんでしょうか。

回答No.1

Tacosan

A: どう計算して「どうしても答えが合いません」となったのかさっぱりわからんが, ふつ～に t で積分すればいい.
B: オイラーの公式でも使う?