コンデンサーとコイルの並列で電荷の変化

質問

図のように電圧Ｅ[Ｖ]の電源、電気容量Ｃ[Ｆ]のコンデンサー、インダクタンスＬ[Ｈ]のコイル、抵抗Ｒ[Ω]の抵抗があるとします。
スイッチを閉じた直後はコンデンサーは導線、コイルは断線、
十分時間がたてばコンデンサーは断線、コイルは導線になります。

コンデンサーにたまる電荷は、最初は増えていきながら、途中で減っていき、最後は0になると思いますが、その時間変化と、たまる最大の電気量を教えていただきたいのですが。
よろしくお願いします。

回答No.11

178-tall · ベストアンサー

チビチビの書き散らしでワケ判んない…ほとんどご破算です。
改めてブリーフィング。

E → R → C の閉路電流を ic、E → R → L の閉路電流を id として、
　E = (R + 1/sC)*ic + R*id
　E = R*ic 　 +　　(R + sL)*id
このペアより、
　D = (R + 1/sC)(R + sL) - R^2 = R(s^2LC + sL/R + 1)/(sC)
として、
　ic/E = sL/D = s^2LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) }
を得る。

　ic = E*sL/D = E*s^2LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) }
の電源へステップ電圧 V/s を加えると、
　ic = (V/s)*sL/D = V*sLC/{R(s^2LC + sL/R + 1) }

ic に積分オペレータ 1/s を掛ければ電荷 Qc 。
　Qc = V*LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) }
　R*Qc/V = 1/(s^2 + s/(CR) + 1/(LC))

以下、damped oscillation の例。

a=√(1/LC - 1/(2RC)^2) ,　b=1/(2CR)　として、
　R*Qc/V = 1/{(s+b)^2 + a^2}
　　　　↓　「ラプラス変換表」---------→ 参考URL ↓
　R*qc(t)/V = (1/a)*e^(-bt)*sin(at)

初っぱなのピーク・タイミング (tp)
　a*tp = (π/2) - arctan(b/a)
…にて qc(t) の最大値かな？

(大したハナシじゃなかった ... sweat )

参考URL：

http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-1-4Rapurasuhyou.htm

お礼

まことにありがとうございました。
僕は高校までの知識しかありませんので、理解は難しいですが、参考にして、今後勉強していきたいです。

回答No.10

178-tall

ANo.5 の訂正案？

　ic = E*sL/D = E*s^2LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) }
の電源へ V/s なるステップ電圧を加えれば、
　ic = (V/s)*sL/D = V*sLC/{R(s^2LC + sL/R + 1) }

これに積分オペレータ 1/s を掛ければ電荷 Qc 。
　Qc = V*LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) }
　R*Qc/V = 1/(s^2 + s/(CR) + 1/(LC))
damped oscillation 領域にて ： a=√(1/LC - 1/(2RC)^2) ,　b=1/(2CR)

　R*Qc/V = 1/{(s-b)^2 + a^2}

　　　　↓　ラプラス逆変換

　R*qc(t)/V = (1/a)*e^(-bt)*sin(at)

吟味のほどを…。

回答No.9

178-tall

調子に乗り、インダクタンスＬの電流も眺めようとして、ここまでの錯誤に気づきました。
それを出せる式のスタイルが得られないのです。

遅蒔きながら参照 URL の立式を眺めたとたん、納得。
ステップ入力の V/s を、単に V としてたのです。

「ラプラス変換表」の勝手な誤用、でした。
ここまでの算式を、ちゃんと正してみてください。

参考URL：

http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-1-7RLCkato.htm

回答No.8

178-tall

(ティータイムに誤記訂正だけ…)

　R*Q(t)/E = e^(-bt){cos(at) - (b/a)*sin(at)}　　　…(Z)
　　；　a=√(1/LC - 1/(2RC)^2) ,　b=1/(2CR)
( damped oscillation 領域内に限る　i.e. {1/LC - 1/(2RC)^2} > 0 )

回答No.7

178-tall

(やはり、ランチ・アワー直後は脳休状態だった)

>s - 積分してしまうのがイージーみたい。
　　↓
あらためて疑惑を感じ、s - 積分する前を眺めると…。
　　↓
　R*iC/E = sL/D = s^2LC/(s^2LC + sL/R + 1)
右辺は、
　1 - (sL/R + 1)/(s^2LC + sL/R + 1)
初項の 1 の逆変換は「デルタ関数 δ(t)」じゃありませんか。
スイッチ・オンとともに流れる「ラッシュカレント」で、C が一気にチャージアップされてしまう、ということか…。

…だとすれば、ANo.6 の「初期条件」うんぬんは要らざること。
　R*Q(t)/E = e^(-bt){cos(at) - {1/(2aC) }*sin(at)}　　　(Z)
　　；a=(1/LC - 1/4RC), b=-1/(2CR)
のままで OK らしい。
(ただし、damped oscillation 領域内に限る)

スプレッドシートに算式 (Z) を勘定させてみると、果たして初っぱなからチャージアップされてます。
初っぱなのチャージが「最大」で、あとは振幅放絡線が減衰でしていくのは予想通り。

回答No.6

178-tall

(過渡現象の演習にありそうなお題だが、見つからない…ナゼ？　よくある E - R - L - C の dual は、i//R//L//C なのダ！）

「初期条件」 Q(0) = 0 なら？

　Q(t)/E = (1/R)*e^(-bt){cos(at) - {1/(2aC) }*sin(at) - 1}
　　a=√(1/LC - 1/4RC)
　　b=1/(2CR)　　　　(注意) ANo.5 の b=-1/(2CR) は誤記。

…でいいのかしらん？ まだマダ、未熟。

回答No.5

178-tall

(ランチ・アワー直後で、脳天半休みたいですけど…)

s - 積分してしまうのがイージーみたい。

　iC/E = sL/D = s^2LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) }
　　　　　↓　s - 積分
　Q(s)/E = (iC/E)/s =sLC/{R(s^2LC + sL/R + 1) }
　　　= s/[ R{s^2 + s/(CR) + 1/(LC) } ]
　　　　　　　↓　「ラプラス変換表」向きパターン整形
　　　= [ {s + 1/(2CR) } - 1/(2CR) ]/[R{s + 1/(2CR) }^2 + (1/LC - 1/4RC) } ]
　　　　　↓　「ラプラス変換表」
　Q(t)/E = (1/R)*e^(-bt){cos(at) - {1/(2aC) }*sin(at)}
　　a=√(1/LC - 1/4RC)
　　b=-1/(2CR)

ここで「初期条件」つまり「積分定数」の吟味、なのかナ…？

-----------------
「ラプラス変換表」
　　　　↓ 参考 URL

参考URL：

http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-1-4Rapurasuhyou.htm

回答No.4

178-tall

>t- 積分しコンデンサーの電荷変化をゲット。

s - 積分するほうがイージー。

　iC/E = sL/D = s^2LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) }

　　　↓　s - 積分

　Q(s)/E = (iC/E)/s =sLC/{R(s^2LC + sL/R + 1) }
　　　　= s/{R(s^2 + s/(CR) + 1/LC) }

ここで「ラプラス逆変換」…という段取り。

回答No.3

178-tall

お目当ての算式に誤記が。
訂正を。

　iC/E
　= sL/D = s^2LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) }
　= (1/R) - (sL/R + 1)/(s^2LC + sL/R + 1)

回答No.2

178-tall

>…コンデンサーにたまる電荷は、最初は増えていきながら、途中で減っていき、最後は0になると思いますが、その時間変化と、たまる最大の電気量を教えていただきたいのですが。

「時間変化と、たまる最大の電気量」を勘定する能力 (手間) は無い、ので道筋だけでも…。

「コンデンサーにたまる電荷」に着目するのなら、「コンデンサーに流れる電流」のラプラス変換を求めておくと便利。

E → R → C の閉路電流 (コンデンサーに流れる電流) を iC 、E → R → L の閉路電流を iL として、
　E = (R + 1/sC)*iC + R*iL
　E = R*iC 　 +　　(R + sL)*iL
なる回路式のペアから、
　D = (R + 1/sC)(R + sL) - R^2 = R(s^2LC + sL/R + 1)/(sC)
として、
　iC/E
　= sL/D = s^2LC/{R(s^2LC + sL/R + 1) }
　= (1/R) - (sL + 1)/(s^2LC + sL/R + 1)
になりそう。

(残務)
逆ラプラス変換表などを参照して iC を時間域へ逆変換したあと、t- 積分しコンデンサーの電荷変化をゲット。
「最大の電気量」を知りたけりゃ極大値探索。

前途洋々ですヨ。

回答No.1

rabbit_cat

たとえば、ラプラス変換なんかを使えば（比較的）楽に計算できると思います。

とりあえず、ステップ入力（電源電圧１Ｖ）のときの電荷の時間変化の式
http://www.wolframalpha.com/input/?i=C*InverseLaplaceTransform%5Bs*L*1%2F%28s*C%29%2F%281%2F%28s*C%29%2Bs*L%29+%2F%28s*L*1%2F%28s*C%29%2F%281%2F%28s*C%29%2Bs*L%29+%2B+R%29*1%2Fs%2Cs%2Ct%5D