数字 二次関数

質問

二次関数 y=ーx^2+2x+8のグラフをCとする
C 上に点Pをとり、Pのx座標を x=t(1<t<4)とする
点Pを通り x軸に平行な直線を引き、Cとの交点のうちP以外の点をQとすると、
点Qの座標は

( ア t+ イ , ウt^2+ エ t+ オ)

となる。

点Qと点Pからx軸に垂線を下ろし、x軸との交点をそれぞれR、Sとすると、
長方形PQRSができる。 この長方形の周の長さは

カキ t^2+ ク t+ ケコ

で表され、t= サ のとき周の長さは最大となり、最大値は シス である。

ア～スまでに入る数字を途中式と合わせて教えて下さい。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

Cのグラフは、
y = -x^2 + 2x + 8
= -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 8
= -(x - 1)^2 + 9
と平方完成できるから、頂点の座標は(1, 9)である。

また、y = 0とおいて得る2次方程式 -x^2 + 2x + 8 = 0の解は
x^2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4) = 0より、x = -2, 4
上記の内容と、点Pのx座標の範囲が1 < t < 4であることを考え合わせると、
点Pの存在範囲は、Cのグラフの頂点からx軸との右側の交点までであることがわかる。

点Qは、点Pに対して、x = 1を軸として対称であることがわかる。
点Pと対称軸とのx座標の差はt - 1であるから、
対称軸と点Qとのx座標の差もt - 1である。
よって、点Qのx座標は1 - (t - 1) = -t + 2
点Qのy座標は点Pのy座標と同じであるから、-t^2 + 2t + 8

点R(-t + 2, 0), 点S(t, 0)であるから、
長方形PQRSの周の長さは
2{t - (-t + 2)} + 2(-t^2 + 2t + 8)
= 2(2t - 2) + 2(-t^2 + 2t + 8)
= 2(-t^2 + 4t + 6)
= -2t^2 + 8t + 12

これを平方完成する。
-2t^2 + 8t + 12
= -2(t^2 - 4t + 4) + 8 + 12
= -2(t - 2)^2 + 20
よって、t = 2のとき、最大値20

お礼

ありがとうございます。

「点Pの存在範囲は、Cのグラフの頂点からx軸との右側 の交点までであることがわかる」
までは自力で分かったんですがね…

回答No.1

Ginga_Hasegawa

元塾講師＆非常勤講師です。

宿題は自分でやれ。ア－オすらも分からなければ、
中学数学からやり直しましょう。一昔前はこの問題は
中学数学の範囲だったのですから。図を描けば誰にでも解ける。

なんで自分でやらないの？　どこが分からないのかを
具体的に記載しましょう。まず、日本語は分かりますか？