男女を1列に並べる順列

質問

問題：男子４人、女子３人が１列に並ぶとき、、女子が隣り合わないように並ぶ並び方は
　　　 何通りあるか。
指針：女子が隣り合わないようにするには、まず、男子４人を並べて、その間または両端に女子
　　　 ３人を入れる。

回答：女子が隣り合わないようにするには、まず、男子４人を並べて、その間または両端に女子を
　　　 ３人を入れるとよい。
　　　 男子４人の並び方は　　　４Ｐ４通り
　　　 そのおのおのについて男子４人の両端と間の５か所に女子３人を入れる方法は
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　５Ｐ３通り
　　　 よって　　４Ｐ４×５Ｐ３＝４！×５・４・３＝１４４０通り
　となっていました。私はこの解き方がどうしても解りません。

　私が解くと女子が隣り合わない並び方は

　　　　(1)　女男女男女男男・・・・４！×３！＝２４×６通り　→２パターン　　
　　　　(2)　女男女男男女男・・・・４！×３！＝２４×６通り　→２パターン　　
　　　　(3)　女男女男男男女・・・・４！×３！＝２４×６通り　→１パターン　　
　　　　(4)　女男男女男女男・・・・４！×３！＝２４×６通り　→２パターン　　　　　　
　　　　(5)　女男男女男男女・・・・４！×３！＝２４×６通り　→１パターン　　　　
　　　　(6)　女男男男女男女・・・・４！×３！＝２４×６通り　→１パターン　　　　　　
　　　　(7)　男女男女男女男・・・・４！×３！＝２４×６通り　→１パターン　　　　　　

　　　　(5)と(7)は左右対称なので、それぞれ１パターン　
　　　　(3)と(6)は互いに左右対称なので、それぞれ１パターン
　　　　それ以外は左右反対の並び方があるので２パターンづつ
　　　　ある。　　　　　
　　　　全部で１０パターンあるので　　　２４×６×１０＝１４４０通り

　　　　上記のように答え合わせのような回答しかできません。
　　　　問題の指針にある考え方を詳しく解説して戴けないでしょうか。
　　　　当方は相当のおじさんなので頭が固くていけません。

回答No.3

aothegenus

指針を文字通りに従ったら質問者さんみたくなります。指針を唱えた出題者本人はもっと別の観点で解法しているという数学教師特有のコミュニケーション障害です。
解法は女子を間に入れるような手順を踏んでいません。
解法では男子と女子を完全に分けて考えていますよね。女男女などと本当に並べたから大変になったのです。
お悩みの指針は確率の勉強の指針ではなくこの文章問題を解くコツの指針なのです。確率の指針は男女を分けて掛け算すればいいという観点です。教科書がコミュニケーション障害です。

ご指摘の階乗の意味ですね。残りは何通りという。

女子に席をあてがうのです。

ＡさんＢさんＣさん。
１席２席３席４席５席。

１２３
１２４
１２５

５４１
５４２
５４３

５×４×３です。

たとえば質問者さんが解いた（１）は、１席２席３席を割り振る場合に３！という計算ですよね。左右対称の方は、３席４席５席の割り振りです。
質問者さんの解き方は人数と席数が等しい場合を網羅しています。
最初から席位置をデジタル化（笑）すれば簡単になります。数字だけで処理できます。
指針通りに男子の間に女子を入れるとすると女子の席位置が５つ設定されます。男子は４つ、女子は５つの席から選びなさい問題です。それがコミュニケーション力のある指針です。
並べるとは何なのかを哲学できますね。

回答No.2

birth11

男を◯、女を△とすると△のとなりは必ず◯なので
ー◯ー◯ー◯ー◯ー………………(1)
(ーは△のはいる空間でーには△が1つだけ入るか入らない)
のパターンで男◯と女△が配置される。

男が◯に入るパターンは(4P4)通り

(1)を見ながら考えてください。………………………(ここから)
女△3人がー5つの中に入る入り方が(5P3)通り
(5つのーの中に女△3人を配置する場合の数)
(5つのーの中に3つの△を配置する場合の数。3つの△は人間なので場合の数は(5P3)通り)
………………………………………………(ここまでが回答)

並び方は男が(4p4)通り、女が(5P3)通りあるので、
(4P4)x(5p3)=(4*3*2*1)*(5*4*3)=1440(通り)…………(答え)

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
当方は学生時代３！は３×２×１と単純に暗記していたのがまずかったですね。
最近ちょっとしたきっかけで順列とか確率に興味が沸いてきたので勉強しています。

ＡＢＣの並び方は最初に三つのアルファベットから一つ取り出すので３通り、次はのこり二つの
アルファベットから一つ取り出すので２通り、最後は一つしかのこっていないので一通り。
階乗にはそんな意味があったのですね。

そして貴殿の示してくださった考え方は一歩進めてＡＢとあったところに、Ｃを加える方法は
ーＡーＢーのーにＣを入れる場合の数は３だと云うことですね。
Ａから考えるのと、逆方向の思考で大変勉強になりました。
確率等の分野はいろいろ応用範囲が広いようなので今後も勉強していこうと思います。

回答No.1

alice_44

頭が固いなんて、とんでもない。
貴方の解法も正解です。

貴方が求めた「10 パターン」は、要するに、
男子 4 箇所の間または両端に女子の入る 3 箇所を決める場合の数
5C3 です。
その場所に男子女子を入れる入れ方を考えて
4P4・3P3・5C3 = 24・6・10 としている訳ですが、

解答例の解法は、そのうち 3P3・5C3 の部分を、
3P3・5C3 = 5P3 と計算しているだけです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
３Ｐ３・５Ｃ３＝５Ｐ３となるのですね。これは公式ですか？
実は確率についての読本を読んでいて順列のことが
関係してきたので高校数学の参考書を買って、かいつまんで
順列の勉強をしていたところです。
ですので組み合わせのところの勉強はこれからで
組み合わせの式との関係も、いまのところ不勉強です。

でも本稿の１０通りの部分が５Ｃ３にあたり、無意識に
それを計算しようとした訳ですね。
数学の勉強は段階的に理解するほうが解りやすいのですが、
かまわずに進んでも後になって自然に解ることも多いので
そのへんのさじ加減がむつかしいですね。