数学（30代にしてやり直してます）

質問

最近になって数学などを問題集やり直してるのですが、最近の問題集でわからないとこがあって・・・自分やってないんじゃないかと思うくらいわかりません（笑）
どうか解説をお願いします。

＜問＞
３けたの自然数Nの百の位をａ、十の位をｂ、一の位をｃとする。ａ+ｃ=9であるとき、次の問いに答えよ。

（１）Ｎをb、cで表せ。

（２）Nが11で割り切れるとき、bの値を求めよ。

（１）においては、たぶんなんとか解けました。
a+c=9の条件より導きだし、答えは10b-99c+900となりました。

問題は（２）です。

どうにかこうにか途中まではできているような気がするんですが、途中から詰まってます。
わかりやすく説明してくださると脳年齢の落ちてきた脳みそにも叩き込めると・・・
100a+10b+cを使うのかとか、11で割り切れるところにミソがあるとか・・・900=11×81+9とか・・・
色々グルグルしてます。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

waseda2003 · ベストアンサー

要するに，11の倍数どうし足したり引いたりしても11の倍数になるので，
「11の倍数とはっきりわかる数を取り除いて，残りだけ考える」とよいのです。

　　　10b-99c+900
　　　= (11-1)b-99c+(11×81+9)
　　　= 11b-99c+11×81-b+9
　　　= 11(b-9c+81)+9-b

より，9-bが11で割り切れればよく，0以上9以下の整数の中では
　　　b=9
だけが条件を満たします。

fantadvdさんも薄々気づいていらっしゃるように，実は(1)は邪魔な問題になっています。
（おそらく「Nをa，bで表せ」のミスプリではないかと・・・）
むしろ，cの方を消去して

　　　100a+10b+c
　　　= 100a+10b+(9-a)
　　　= 99a+10b+9
　　　= 11(9a+b)-b+9

と変形した方が簡単です。

お礼

最後のｃ消去のやり方を見てすごく腑に落ちました。
ゆえにベストアンサーにさせていただきました。
ですが、みなさま本当にありがとうございました！

自分のやり方がすごく遠回りになってたことに気付きました。
みなさん頭いいなぁ・・・
羨ましい（笑）
（１）の問題を気にかけすぎていましたね。自分。
きっとそれが狙いなような気もします＞＜
それに存分にはまってしまいました。

みなさま素早い回答本当にありがとうございました！
また何かあったらよろしくお願いします！

回答No.2

asuncion

(1)
N = 100a + 10b + c
a = 9 - c
N = 100(9 - c) + 10b + c
= 10b - 99c + 900

(2)
-99cは11で割り切れる。
残りの部分である、10b + 900
= 11b - b + 11 × 81 + 9
= 11(b + 81) + 9 - b

11(b + 81)は11で割り切れる。
0 ≦ b ≦ 9で、かつ、9 - bが11で割り切れるということは、
b = 9

回答No.1

j-mayol

10b-99c+900
において-99cは11×（-9ｃ）であるから１１で割り切れる。
したがって10ｂ+900が１１で割り切れれば10b-99c+900も１１で割り切れることになる。
ｂは３桁の整数の十の位の数であるから０以上９以下の整数。このような条件を持つｂでかつ、10ｂ+900が１１で割り切れるためのｂの値はｂ＝９しかない。
このとき10ｂ+900＝990となり11で割り切れる。