集合位相入門 松坂和夫 第１章$5問題11

質問

（質問の編集の仕方がわからなかったので新しく作成しました）

全射f:A→B、s,s'をfの右逆写像, V(s), V(s')の一方が他方に含まれていればs=s'
の証明について、自分で何日か考えているのですがわかりません。教えていただけないでしょうか？

（証明したいこと）
∀b∈B, s(b)=s'(b)

（前提）
1.　∀b∈Bについて∃a∈A, b=f(a) -------- 全射f:A→Bの条件
2. ∀b∈Bについてf・s(b) = f・s'(b) = b ------ 右逆写像の定義
3. V(s)⊂V(s')

よろしくお願いします。

質問の後で回答の方針としては下記を考えつきました。
１．s=s' が成り立っているときはV(s) = V(s')となる

2. V(s)を終集合、Aを定義域とする写像をsに対してs1で考え、V(s)を始集合、Bを値域とする写像をfに対してf1と考えるとf1・s1=Ibでこのときf1、s1はともに全単射となる。

3. 同様にs'1も全単射になるように考えられるがこのときv(s1)⊂v(s'1)であってかつ
s1:A→V(s1)が全単射、s'1: A→V(s'1)も全単射であるからV(s1)=V(s2)となりs1=s'1
このときs=s'が言える

2.は大丈夫そうに思いますが、3を示すのはまだちょっとできません。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

V(s)がV(s')の部分集合であるとする
つまり，Bの任意の要素bに対して
s(b)はV(s')の要素であるので，
Bの要素b'が存在し s(b)=s'(b') とできる
このとき，
b=fs(b)=fs'(b')=b'
よって，s(b)=s'(b)
bはBの任意の要素なので，s=s'

補足

s': B→V(s')は全射ですからs(b)∈V(s')に対してs(b)=s'(b')なるb'∈Bが存在しますね
ありがとうございました