RLC回路 過渡解析

質問

直流電源-スイッチ-抵抗-コイル-コンデンサが直列につながれていて

直流電源５V
抵抗１Ω
コイル１H
コンデンサ１F

t<0 のときスイッチOFF
コンデンサ電圧v(t)=０
回路に電流は流れていない

t=0でスイッチON

t>0の時のコンデンサ電圧v(t)を教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

t≧0での回路方程式は
v+iR+Ldi/dt=5
i=Cdv/dt

R,C,Lの値を代入すると
v+i+di/dt=5u(t) ...(1)
i=dv/dt ...(2)

(2)を(1)を代入
v+dv/dt+d^2(v)/dt^2=5 (t≧0) ...(3)

v+dv/dt+d^2(v)/dt^2=0の一般解v1(t)を求める。
特性方程式
　s^2+s+1=0 ∴s=(-1±j√3)/2
∴v1(t)={C1sin(t√3/2)+C2cos(t√3/2)}e^(-t/2)[V]
(3)の特殊解v2(t)を求める。
v2(t)=5[V]
(3)の一般解は
v(t)=5+{C1sin(t√3/2)+C2cos(t√3/2)}e^(-t/2)[V] ...(4)
(2)より
i=dv/dt
={((√3/2)C1-(1/2)C2)cos(t√3/2)
-((√3/2)C2+(1/2)C1)sin(t√3/2)}e^(-t/2)

t=0[s]の初期条件から
　v(0+)=v(0-)=0[V]なので
　0=5+C2 ∴C2=-5
　i(0+)=0[A]より
　(√3/2)C1-(1/2)(-5)=0　∴C1=-5/√3

(4)にC1,C2を代入して
　∴v(t)=5-5{(1/√3)sin(t√3/2)+cos(t√3/2)}e^(-t/2)[V]

回答No.3

foobar

＃１さんと同様だけど、微分方程式をラプラス変換使って解くと、多少楽かも。
電圧方程式は、e=Ri+Ldi/dt+q/C, i=dq/dt, v=q/C 、これをi(0)=0,q(0)=0の条件でラプラス変換すると、E/s=RI+sLI+Q/C,Q=I/s, V=Q/C で、Vについて解くとV=E/(s(LCs^2+CRs+1))。
これに実際の数値を代入すると、
V=5/(s(s^2+s+1))=5(1/s-(s+1)/(s^2+s+1))=5*(1/s-((s+0.5)+0.5)/((s+0.5)^2+0.75))。
これを逆ラプラス変換すると v=5(1-exp(-0.5t)(cos(√3 t/2)+1/√3*sin(√3 t/2))
かな。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

取り敢えず、1Ωの抵抗がぶっ壊れるかな。