割る数と余りから割られる数を求める問題

質問

問題集をやっていて解答を読んでもわからないところがあったので質問させてください

「設問
7で割ると5余り、9で割ると7余り、11で割ると3余る自然数のうち
3番目に小さいものを求めよ」

「解答
7で割ると5余り、9で割ると7余る数　に2を足すと7でも9でも割り切れる
よってこの数を63で割ると61余る
そこで63で割ると61余る数を61から小さい順に数えていって
そのうち11で割ると3余る数を見つける　それは124である
したがって題意を満たす自然数は7×9×11で割ったときの余りが124となる
数のうち小さいほうから3番目なので1510である」

質問1
『7で割ると5余り、9で割ると7余る数　に2を足すと7でも9でも割り切れる
よってこの数を63で割ると61余る』
という文の『この数』とは
7で割ると5余る数＋2　のことですか？
それとも7で割ると5余る数のことですか？

質問2
『この数を63で割ると61余る』
のはなぜですか？

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

数式を使いましょう．基本は

・整数aを正の整数bで割った時，商がqであまりがrのとき

a=bq+r(r=0,1,・・・,b-1)

成り立つことです．

7で割ると5余り，9で割ると7余る数をNとすると，整数m,nがあって

N=7m+5=9n+7

とかける．これに2を足すと

N+2=7(m+1)=9(n+1)

となります．これは7と9の公倍数，つまり7・9=63の倍数ですから

N+2=63l(l整数)

とかけますから，

(☆)N=63l-2=63(l-1)+61

つまり『この数』とはNすなわち

>7で割ると5余る数＜質問1＞

のことです．『この数を63で割ると61余る』ことは☆であきらかでしょう．＜質問2＞

続いて解くと，

N=11k+3(k整数)

とかけるから☆から

(★)N=63(l-1)+61=11k+3

これが

>63で割ると61余る数を61から小さい順に数えていって
>そのうち11で割ると3余る数を見つける

の意味です．このことは★を変形して

63l-2=11k+3
63l-2-124=11k+3-124
63(l-2)=11(k-11)

よってk-11は63の倍数でk-11=63s(s整数)とおける．よって

N=11k+3,k=63s+11

N=11(63s+11)+3=693s+121+3
=693s+124

Nは自然数だからs=0,1,2,3,・・．3番目に小さいのはs=2のとき

N=693・2+124=1486+124=1510

お礼

やっと理解できました！
ありがとうございました