線形代数、解き方の方針が分かりません

質問

いつもお世話になっております。
独学で線形代数に挑戦中の者です。

また線形代数の問題の解き方の方針が分からず、困っています。

///////////////////////////////////////////////////////////////////

２×２行列のＡ，Ｂが　（Ａ+Ｂ)^2 = Ａ^2 + Ｂ^2　　かつ、

（Ａ+Ｂ)^3 = Ａ^3 + Ｂ^3　を満たすとする。

(1)Ｂ^2*Ａ = -Ｂ*Ａ^2 であることを示せ
(2)Ｂ^m*Ａ + Ｂ*Ａ^m = ０ であることを数学的帰納法により証明せよ
(3)(Ａ+Ｂ)^m = Ａ^m + Ｂ^m を示せ

////////////////////////////////////////////////////////////////////

まず(１)が出来ません。

２×２行列を　│a b│　　　│e f│
　　　　　　　　　│c d│　、　│g h│

として、
（Ａ+Ｂ)^2 = Ａ^2 + Ｂ^2　、Ｂ^2*Ａ = -Ｂ*Ａ^2 を
実際に計算しようかと思いましたが、
かなり複雑になるのと時間が掛かってしまい、うまく出来ません。。

どうぞ宜しくお願いします。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

取りあえずご指定の (1) だけ

(A+B)(A+B)=A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + B^2

両辺から A^2 + B^2を引くと

AB + BA = 0

(A+B)(A+B)(A+B)=A^3 + A^2B + ABA + AB^2 + BA^2 + BAB + B^2A + B^3 = A^3 + B^3

両辺から A^3 + B^3を引くと

A^2B + ABA + AB^2 + BA^2 + BAB + B^2A = 0

A(AB+BA) + AB^2 + BA^2 + B(AB + BA) = 0

AB + BA = 0 ですから

AB^2 + BA^2　=０

AB = -BA ですから

AB^2 = ABB = -BAB = BBA = B^2A なので

B^2A + BA^2 = 0

お礼

大変分かりやすかったです。
本当にありがとうございます。

これから、自分のノートで実際にやってみます！

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

No.2 です。あれ、(2) って 符号が反転してる。ちょっと考え直してみます。

お礼

ワザワザすみません。
ありがとうございます。助かります。

補足

すいません！！

問題を間違ってました！！汗

(2)は(A^m)*B + (B^m)*A =0　の証明でした。

tknakamuriさんのを参考にしたら、（２）はあっさり出来ました。

ただ（３）は苦戦中です。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

(2) も解けました　

m=1, m=2 では成り立つので、m>=3 では m-1 で成り立っているとすると

m では

B^mA = B(B^(m-1)A) = -B(BA^(m-1)) = -B^2AA^(m-2) = BA^2A^(m-2)=BA^m

お礼

ＮＯ３のお礼と前後しますが、全ての問題が解けました。
（３）も帰納法であっさりでした。

本当にありがとうございました。