FIRフィルタに関する周波数変換について教えてくだ

質問

FIRフィルタに関するフィルタ係数の周波数変換について教えてください．

遮断角周波数ωcのハイパスフィルタのフィルタ係数を求める場合，
まず最初，遮断角周波数ωcのローパスフィルタの係数h(LP)を求め，
その結果を使って，ハイパスフィルタの係数h(HP)は
h(HP)=(-1)^n*h(LP)
という変換によって求められるのですが，
なぜ，ローパスフィルタのフィルタ係数の奇数の項の符号を反転させるだけで，
ハイパスフィルタのフィルタ係数になるのでしょうか？

とても困っています．
宜しくお願いします．

回答No.2

178-tall

>h(HP)=(-1)^n*h(LP)

初め、この意味を読み取れずにあらぬ方角を見てのコメントをしました。

FIR のタップ列のセンターから前後に向けて±n の番号を付与している。
上式はセンター前後でタップ係数 a(k) が奇対称である、という意味なのでしょう。

a(-k) = -a(k) であれば、そのタップ対のうけもつ振幅応答は、
　-a(k)*z(-m+k) + a(k)*z(-m-k) = z(-m)*{-a(k)*z(-k) + a(k)*z(k)}
の形なのでしょう。

z=e^(jωT) なるωにて、
　|-a(k)*z(-k) + a(k)*z(k)| = 2*a(k)*sin(-ωT/2)
の形になるから、直流を通さない HPF タイプになる、というハナシだと推察します…。

回答No.1

178-tall

h(LP) は全極型の多項式みたいですね。

多項式を因数分解して、一つの極により決まる利得を考えるのが基本。
たとえば、s 平面の実軸上の極なら？
　h(z) = {1 + z^(-1)}/2　　…(*)
として、z = e^(jωT) なるωにおいて、
　h(z) = {1 + e^(-jωT)}/2 = {1 + cos(-ωT) + jsin(-ωT)}/2
である。
　1 + cos(-ωT) = 2cos^2(-ωT/2)
　sin(ωT) = 2sin(-ωT/2)cos(-ωT/2)
の関係により、
　h(jωT) = cos(-ωT/2)*{cos(-ωT/2) + jsin(-ωT/2)}
　= cos(-ωT/2)*e^(-jωT/2)
と変形でき、
　|h(jωT)| = cos(-ωT/2)
だとわかります。
これは直流を通す特性、つまり LPF 。

(*) にて、一次項の極性を反転すると？
　h(z) = {1 - z^(-1)}/2　　…(**)
として、上記と同様にして
　|h(jωT)| = sin(-ωT/2)
だとわかります。
(なぞってみてください)
これは直流を通さない特性、つまり HPF 。

s 平面の共役対の極でも同様。

…なので、h(LP) の z^(-1) の奇数次項の係数を反転すると h(HP) になる。