数学IＡ。二項定理。この問題、教えて下さい。

質問

問。

nＣ1+２nＣ2+３nＣ3+・・・・＋ｎ・nＣn＝ｎ・２＾（ｎ－１）が成り立つことを示せ。

すいません。コンビネーションの前後の小さい数字と混同しないよう、半角英数字で記しました。

解。

nＣ1+２nＣ2+３nＣ3+・・・・＋ｎ・nＣn
＝ｎ（n-1Ｃ0＋n-1Ｃ1＋n-1Ｃ2＋・・・＋n-1Ｃn-1）・・・(2)
＝ｎ・２＾（ｎ－１）

詳しい解説が載っていないのですが、書いてある幾ばくかの解説には、

nＣ0＋nＣ1+nＣ2+nＣ3+・・・・＋nＣn＝２＾ｎより、ｎをｎ－１に置き変えて、
n-1Ｃ0＋n-1Ｃ1＋n-1Ｃ2＋・・・＋n-1Ｃn-1＝２＾（ｎ－１）

とありました。
nＣ0＋nＣ1+nＣ2+nＣ3+・・・・＋nＣn＝２＾ｎは、（１＋１）＾ｎが分かるので、ｎをｎ－１に置き変えて、
n-1Ｃ0＋n-1Ｃ1＋n-1Ｃ2＋・・・＋n-1Ｃn-1＝２＾（ｎ－１）が成り立つのが分かります。

分からないのは、回答の(2)のトコロから？
各項をｎで括ったトコロ？これがよく分かりません。
このまま（）を外して、ｎを各項に掛けたのであれば、
nＣ1+２nＣ2+３nＣ3+・・・・＋ｎ・nＣnではなく、
ｎ・n-1Ｃ0＋ｎ・n-1Ｃ1＋ｎ・n-1Ｃ2＋・・・＋ｎ・n-1Ｃn-1となり、＝が成り立たないのではないのでしょうか？
また、ｎをｎ－１に置き変えるというのも引っ掛かってて、そうすると各項を括ったとするｎも、
ｎではなくｎ－１になるのではないのでしょうか？
－１は省略されたのでしょうか？どこに？回答の式からは、それ以上を読み取れませんでした。

よく分かりません。分かり易い解説をお願いします。
お手数ですが、ご意見。ご回答お願いします。

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

余談だけど, 微分できればこんな面倒なことはしない.

二項定理に対して微分すれば終わり.

お礼

な、何と言いますか。
身も蓋も無い話だな。と思いましたｗｗ

回答No.2

f272

ｎ・n-1Ｃ0 = nＣ1
ｎ・n-1Ｃ1 = ２nＣ2
ｎ・n-1Ｃ2 = ３nＣ3
ｎ・n-1Ｃn-1 = ｎ・nＣn
でしょ。

> また、ｎをｎ－１に置き変えるというのも引っ掛かってて、そうすると各項を括ったとするｎも、
> ｎではなくｎ－１になるのではないのでしょうか？

nＣ0＋nＣ1+nＣ2+nＣ3+・・・・＋nＣn＝２＾ｎより、ｎをｎ－１に置き変えて、
n-1Ｃ0＋n-1Ｃ1＋n-1Ｃ2＋・・・＋n-1Ｃn-1＝２＾（ｎ－１）

のどこにも各項を括ったとするｎはないよ。

回答No.1

Tacosan

階乗を使って書いてみる.

お礼

凄いですね。
公式や解法に捉われ過ぎてて、コンビネーションの中身まで考えていませんでした。
ただコレ、最初の式を階乗に変形して、
その変形した階乗の式をコンビネーションに直して、二項定理にまとめるというのが出来るのかな？
と思ったりしています。

ありがとうございました。