数学の解き方を教えてください

質問

問題と答えは知っているのですが、解き方が分かりません！
誰か教えてください。
お願いします。

＜Ｐ.Ｓ＞
答えは[]で囲ってあります。

問い
　a、b は整数とする。 ｘ の２次方程式
　（ a - 1 ）x² - 2( a - 2 )x + a - b + 1 = 0
　が正の重解をもつとき、[　a = 0、b = ５　]　である。

回答No.2

birth11 · ベストアンサー

まず、a ≠ 0 として、
a x^2 + b x + c = 0 の解は

x = { - b ± √( b^2 - 4 a c )} / ( 2 a )

解が重解である為には、判別式をD とすると、
D = b^2 - 4 a c = 0…………………( i )

解が正の重解である為には
( i ) の条件と
- b / ( 2 a ) > 0………………………( ii )

を満たす必要がある。

さて、与方程式に目を向けて、
a - 1 ≠ 0 であり、
( ii ) より
- { - 2 ( a - 2 )｝/ { 2 ( a - 1 )} > 0

a < 1 または a > 2………………( iii )

( i ) より
( a - 2 )^2 - (a - 1) ( a - b +1 ) = 0
整理して、
( a - 1 ) ( b - 4 ) = - 1
a , bは整数なので
( a - 1 , b - 4 ) = ( - 1 , 1 ) , ( 1 , - 1 )
( a , b ) = ( 0 , 5 ) , ( 2 , 3 )

( iii ) を満たすのは、
a = 0、b = 5………………( 答 )

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

suko22

2次方程式なのでa≠1

重解を持つ条件は、
判別式Ｄ/4＝（a-2）＾2-（a-1)(a-b+1)=0
a^2-4a+4-a^2+ab-a+a-b+1=0
ab-4a-b+5=0
(a-1)(b-4)+1=0
(a-1)(b-4)=-1

a,ｂは整数だからa-1,b-3も整数。

かけて-1になる2数を探すと、（-1,1）

a-1=-1かつb-4=1のとき、a=0,b=5
a-1=1かつb-4=1のとき、a=2,b=5

重解を正の値に限定するには
y=(a-1)x^2-2(a-2)+a-b+1の頂点のｘ座標が正であればよい。
y=(a-1){x^2-2(a-2)/(a-1)}+a-b+1
=(a-1){x-(a-2)/(a-1)}^2-(a-2)^2/(a-1)+a-b+1

頂点のｘ座標は(a-2)/(a-1)。これが正であればよいので、
(a-2)/(a-1)>0
(a-1)^2を両辺にかけて、
(a-2)(a-1)>0
a<1,2<a

このaの範囲を満たしている解は、
(a,b)=(0,5)

お礼

回答ありがとうございました。