運動の法則 イメージが出来ません。

質問

滑らかな水平面上に質量２．０ｋｇの物体Aを置き、これに糸を繋ぎ
滑らかな滑車を通して質量０．５ｋｇのおもりBをつるす。
ただし、意図は十分軽くたるまないものとし、重力加速度を10m/s^2とする。

１）物体の加速度はいくらか。
２）糸の張力はいくらか。

という問いなのですが物体の加速度（ａ）というものがいまいち理解できません。
添付している図は解答の図なのですがａは矢印の方向に働くものなのですか？

１）張力（Ｔ）は引っ張り合う為に同じ値になると考えてよいのですよね？
２）そして張力は垂直抗力と同じですか？
３）そう考えるとＡをひっぱる力には重力と張力が発生しており、Ａの垂直抗力から重力を引くと
　Ｂの垂直抗力（Ａと同じ値が発生する）と考えるのでしょうか？

垂直抗力についてわかりやすく説明していただけると嬉しいです。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.4

betanm

前提として、
(1)すべての物体には摩擦力は働かない。（←滑らかなと書かれているから）
(2)水平面には重力は働かない。
(3)糸はたるまない＝物体同士は一体となって運動する。
ここまでは良いでしょうか？

図が描かれているので、この図から、おもりを支えている手を離したらどういう動きをするかは、想像できますね。

糸がたるまないとうことですから、物体とおもりは一体になって運動します。

滑車は運動の方向を変更しているだけなので、一体になった物体とおもりは同じ速さで運動することが分かりますね。

そこでこの一体となった運動自体に運動方程式を適用します。

全体に働く力は、おもりに掛かる重力のみですから、0.5ｇです。

全体の質量は2.0+0.5＝2.5ｋｇです。

よって加速度は、ａ＝Ｆ／Ｍ＝0.5ｇ/2.5＝0.2ｇ＝0.2*10＝2.0ｍ/ｓ＾2 となります。

さて、張力ですが、
文字通り、『引っ張る力』のことです。
引っ張ると言っても、両側から1の力で引っ張ると、1+1＝2の張力が働くことになります。

これを踏まえて、糸の張力を求めてみます。
おもりが糸を引く力は、0.5ｇ ですね。
水平面を運動する物体には摩擦力はないですが、慣性があり、それが図の左方向に働きます。

よって力の向きは真逆ですから、糸の張力は、両者を足したものになります。
慣性力はその加速度をａとすると、Ｍａですね。
ａは上で2.0ｍ/ｓ＾2と求まっています。

すなわち、
張力Ｔ＝2Ｍ ＋ 0.5ｇ ＝ 2*2.0 ＋ 0.5*10 ＝ 4+5＝9Ｎ です。

なお垂直抗力は摩擦のある運動の場合に使うので、考える必要はありません。

回答No.3

hitokotonusi

>ａは矢印の方向に働くものなのですか？

そうです。
この場合は力が鉛直方向にしか働いていませんから、おもりBは鉛直方向の加速度しか受けません。
そして、この問題では状況からおもりBは鉛直下向きに運動しますから、矢印の方向を含めてYesですが、
一般の場合であれば、加速度が正の値であれば矢印の向き、負の値であれば矢印の逆向きの加速度となります。

1) 糸の重さを無視できる場合は張力はどこでも等しくなります。
2) 違います。
3) Bはどこにも接触していないので垂直抗力は働いていません。

力という量は大きさだけでなく働く方向も持っている量ですから、
常に、【働いている方向】を強く意識してください。

おもりB(質量をmとする）に働いているのは鉛直下向きの重力mgと上向きの張力Tなので

運動方程式は下向き〔矢印の向き)を正として

ma = mg - T

物体A(質量をMとする)には鉛直方向には下向きに重力Mgと机からの垂直抗力R(上向き)が働いていますが、
物体は机の上から動きませんのでこの二つの力は釣り合っていてMg = Rが成り立ちます。
これらの力は鉛直方向なので、物体Aが机の上をすべる水平方向の運動とは無関係です。

水平方向には摩擦力が働かないので糸の張力だけが物体Aに働いており、
糸の長さが変らないので加速度の大きさは物体AとBで等しくなるため、運動方程式は

M a = T

になります。〔おもりBが下がると物体Aは右向きに動くので、右方向を正に取る〕

この二つの式を連立させれば加速度aと張力Ｔを求めることができます。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>１）張力（Ｔ）は引っ張り合う為に同じ値になると考えてよいのですよね？

Aを右に引っ張る張力の大きさとBを上に引っ張る張力の大きさは同じになります。

>２）そして張力は垂直抗力と同じですか？

この垂直抗力というのは、Aを滑らかな水平面上に束縛している垂直抗力でしょうか？
#Aの動くことが可能な方向に垂直な方向の束縛力なので垂直抗力といえます。

Aに加わる垂直抗力は常にAの重さ、つまり重力と釣り合うため　
常に上方向に 20 N になります。

>３）そう考えるとＡをひっぱる力には重力と張力が発生しており、
>Ａの垂直抗力から重力を引くと
?　Ｂの垂直抗力（Ａと同じ値が発生する）と考えるのでしょうか？

Aの垂直抗力は重力と釣り合うため、合わせて 0 になります、また垂直抗力と張力の向きは
90度異なっているため単純に引いたりはできません。

Aは張力T で右方向へ加速し、Bは重力から張力Tを引いた力で下方向に加速します。
２つの物体が糸でつながれているので、A,Bの加速が同じであるという方程式を立てれば
問題が解け、張力が求まります。

回答No.1

htms42

台の上にある物体Ａに糸を付けて物体Ｂをぶら下げています。
台とＡとの間には摩擦はないとしているのですから手を離せばＢが落下するでしょう。Ｂが落ちればＡはそれに引っ張られて右に動くでしょう。
これは問題を解く前に分かることです。
分からないのはどういう加速度で動くかということです。
運動方程式はこの部分について教えてくれるものです。

Ａ，Ｂの運動には色々な制約が付いています。その制約を運動方程式から出すことはできません。
その制約を満たすような運動が起こるのですから運動方程式にはその制約が式の成り立つ前提として入ってくるのです。
Ｂが下に落ちればＡは右に動きますからＡについての加速度は右向きですがＢの加速度は下向きです。でも「糸はたるまない」という条件がありますから大きさは同じです。この問題での方向は上下、左右という方向ではなくて糸に沿っての方向になっています。そう考えると１次元の運動になります。ぶら下がっているＢが横揺れしたりはしないと考えているのも条件に入っています。（「Ｂを支えていた手を静かに離す」という語句が問題文の中に書かれている場合がありますがこの条件に対応するものです。）
「垂直抗力」というのはＡが台の上にあるという制約から生じる力です。面に沿って動く、台から離れたり、台にめり込んだりしないという条件があれば決まります。面に垂直な方向の運動が起こらないのですからその方向に働く力の合力＝０のはずです。「垂直抗力」はこういう制約から決まる力です。運動方程式の中には入ってきません。この問題では物体Ａが水平な台の上にあるのですから面に垂直な方向というのは鉛直方向です。

物体Ａに働く力は
・水平方向　Ｂがぶら下がっているということで働く右向きの力
・鉛直方向　Ａに働く重力と台から働く垂直抗力

鉛直方向の運動は生じないのですから「重力＝垂直抗力」です。
水平方向に起こる運動はＢがぶら下がっていることによって働く力によって決まります。この力を解答では張力Ｔとしています。この力もＡ、Ｂが伸びない糸で結びつけられているという制約から決まる力です。これはＡの移動距離とＢの移動距離がいつも同じであるという制約になっています。加速度の値が同じであるというのはこの制約から出てきているものです。動いている時と止まっている時でＡ，Ｂの間に働く力は異なりますから加速度が決まらないと決まりません。

Ｂに働いている力は
・Ｂに働く重力ｍｇ
・ＢにＡが結び付けられているということからくる重力とは逆向きの力Ｔ'
Ａ，Ｂの間にある糸を切ればＢは自由落下をします。Ａという余分な物体を引っ張らないといけなくなっていますから自由落下よりは加速度の小さな運動になります。Ｔ'はＡが結び付けられているということから生じている力です。

力Ｔ、Ｔ'はＡとＢが糸で結びつけられているという制約から生じている力です。
Ａの立場で言えばこの力によってＡが動く原動力になっています。
Ｂの立場で言えばＡがあることによって重力の働きを打ち消している力になっています。
「張力」と言っているのはＡ，Ｂを繋いでいる糸がピンと張った状態で生じている力であるということからです。Ａの立場で見た時の力Ｔと、Ｂの立場で見た時のちからＴ'は互いに方向が逆です。でも大きさは等しいです。これが作用・反作用の法則と言われているものです。Ａ，Ｂの関係を表している制約を表現しているものです。

Ａ，Ｂを２つの別々の存在として考えるという立場で運動を考えると運動方程式は２つ出てきます。加速度や張力の関係はその２つの運動を関係づける外部的な制約になります。上で考えたのはこの立場です。（立場１）

糸でつながったＡ，Ｂを全体をして１つのものＺと考えることもできます。その場合、Ａ，ＢはＺを構成する部分になります。この場合、全体の運動は１つですから１つの式で加速度が決まります。（立場２）

上で考えた内容をそのまま式に直せば（立場１）での式が出てきます。
Ａ　Ｍａ＝Ｔ
Ｂ　ｍａ＝ｍｇ－Ｔ'
Ｔ＝Ｔ’

（立場２）であれば全体で１つですから式を立てれば全体の質量がＭ＋ｍ、それが動くか速度がａ，運動の原因になっている力はぶら下がっているＢに働く重力です。
(Ｍ＋ｍ)ａ＝ｍｇ

ａ＝ｍｇ／(Ｍ＋ｍ）　が簡単に出てきます。

どちらで考えても同じ結果になるはずだと言うことができるはずです。それを保障しているのがＴ＝Ｔ’の関係です。全体を一つの物体として見た時、内部を構成している部分を結びつけている力は全体の運動を決める力としては現れて来ないという要請を満たす条件が作用・反作用の法則です。

列車の運動を考えます。普通は客車を引っ張っている機関車と客車の全体を１つの列車と考えて運動を考えています。でも機関車と客車を別々のものと考えてやれば連結器に働いている力を考えなくてはいけなくなります。どちらで考えても同じになるはずです。連結器に働いている力については作用・反作用の関係が成り立ちます。

今考えているいる問題を列車の運動に対応させることができます。ぶら下がっているＢが機関車、引っ張ってもらってはじめて動くことのできるＡは客車に対応します。Ａ、Ｂ合わせて列車になります。