自由落下

質問

ｔ１/t2はいくら。

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

ヒントだけ。

自由落下運動
公式
　ｖ＝ｇｔ
　ｙ＝(1/2)ｇｔ^2
図から、ｙ＝ｈのとき　ｔ=？　この答が　ｔ1です。
（どちらの公式に当てはめればよいかはわかりますね。）

斜面上の運動
斜面に沿って（斜面に平行な方向に）加速度が生じますが、その大きさは
　ａ＝ｇ・sinθ
で一定（等加速度）です※。
　滑る距離Lは、図形的に、　Ｌ・sinθ＝ｈ　ですから
Ｌ＝h/(sinθ)
運動は、等加速度で、直線上の運動ですから、等加速度直線運動です。つまり、次の公式が使えるわけです。

等加速度直線運動の公式
　ｖ＝ｖ0+at
　ｘ＝ｖ0・ｔ+(1/2)ａｔ^2
　ｖ^2－ｖ0^2＝2ａｘ
が成り立っています。
　静かに滑り出したのですから　ｖ0＝０
　ａ＝ｇ・sinθ
　ｘ＝L=h/(sinθ)
を公式に代入して　ｔを求めます。これが　ｔ2です。

あとは、ｔ1/ｔ2　に代入して整理すれば答が求まります。

ちょっと勘違いする向きもあるかと思いますので、書いておきます。
斜面が滑らかなら、斜面の傾きによらず、斜面の下端に達したときの速さはいずれも√(2gh)となります。
初めと終わりの速さが同じなのだから、所要時間も同じ…　と早合点しないで下さい。走る距離が違います。加速度の大きさも違います。所要時間も当然のように違うのです。
直感的にこれを了解するために、斜面がう～んと長～い場合を考えたらわかりますよね。
なだらかな斜面を滑り降りる物体は、ゆっくりゆっくり速くなっていきますから、斜面を下りきるまでにはとても長い時間を要するはずです。

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※　滑らかな斜面上に有る質量ｍの物体には、２つの力が働きます。
１つは重力：　鉛直下向きに、大きさｍｇ
もう一つは垂直抗力：　斜面に垂直な方向に、大きさＮ
問題の場合、これら２つの力の合力によって、物体は斜面に沿って運動するのです。
運動方程式　ｍａ＝Ｆ　から、加速度ａの方向と合力Ｆの方向は、必ず一致することがわかります。
斜面に沿って下に滑り降りるのですから、加速度の向きは斜面に沿って下向き（斜面に平行）です。

垂直抗力Ｎは、斜面に対して垂直ですから、合力には寄与しません。残るのは重力です。
鉛直下向きの　ｍｇ　を、斜面に平行な成分と垂直な成分とに分解する（ちゃんと図を描いて調べましょう）と
斜面に平行な成分は　ｍｇ・sinθ
斜面に垂直な成分は　ｍｇ・cosθ
となります。
以上より、　物体に働く合力＝ｍｇ・sinθ　ですから
ｍａ＝ｍｇ・sinθ
∴　ａ＝ｇ・sinθ
となります。