nC1-(1/2)nC2+(1/3)nC3-...

質問

(nC1)/1-(nC2)/2+(nC3)/3-...+(-1)^(n+1) (nCn)/n を求めよという問題で
(1-(1-x)^n)/xを積分するとΣ{k=1~n}(-1)^(k+1) (nCk)(x^(k-1)) /kとなるのはわかるのですが
この定積分がx=0~１とかいてあるのですがなぜでしょうか？積分なので何かしらｘの範囲を決めないといけないのはわかるのですが、なぜ0～１になるのかヒントでもいいのでください

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

No.3へのコメントについてです。

> ∫x dx=(x^2)/2+c

おお。正しく書けています。

> (0^2)/2-(1^2)/2=-1/2

　「aからbまで」と言えば、積分記号の下に付くのがa, 上に付くのがbですから、これだと符号が逆。でもま、それはこの際どうでもいいんです。
　要点は、「定積分では（不定積分には付いていた）+cがどこに消えたのか」を理解なさっているのかどうかです。

　以上をお考えの上で、

> 求めたいのはx=1のときの値だけ

というのが間違い。その原因は、ご質問の「…となるのはわかる」とお書きの式は決定的に間違っているから。（でも計算をやり直しても無駄です。間違いはそんな所ではない、もっと重大な部分です。）その式と
　　∫x dx=(x^2)/2+c
をじっくり比べれば、何が間違っているか分かるのでは？

> F(0)では0にならないのでは

　いいえF(0)だけじゃない、何を代入しても0にはなりません。

　と、これだけヒントがあれば分かるかな？

お礼

積分定数は代入する値によらないので、引き算をすれば消せるというのわかりますが、、、？

回答No.3

stomachman

No.2へのコメントについてです。

> 積分に関してはできます。

　では、ばかばかしいと思われるでしょうけど、急がば回れという積もりで、あえてf(x)=xの不定積分とx=0～1での定積分を丁寧に書いてみていただけませんか？案外、出来てるつもりで引っ掛かっているのかも知れない。いや、これが引っ掛かっていないのなら、ANo.1で話は終わっている筈だろうと思うんですよ。

> y=1-xとして積分したのですがそこがおかしいのでしょうか

　そういう所で引っ掛かってるんじゃなかろうと思います。もっと根幹の部分を見たいのでf(x)=xの例を確認すれば十分なんです。
　ところで、No.1のコメントにある「F(0)=0」の話も、どういう意図で書かれたものなのか、もう少し詳しくご説明戴けませんか。

お礼

∫x dx=(x^2)/2+c
x=0~1とする
(0^2)/2-(1^2)/2=-1/2
まあ面積だったら符号逆ですが０～１ということなので。。
説明すると長いんですがno.1のこめんとは
まず積分はｘの範囲を決めないといけない（少なくともそう思った）
だけど求めたいのはx=1のときの値だけ
だから範囲を決めるために始まりの値と終わりの値を決めなきゃいけない（と思ったので）１と式に影響を及ぼさない（とおもった）0を範囲とすればいいと思ったんですが、実際F(0)では0にならないのではないと投稿してから気づきました。でここでさらに少なくても1-x=yとして積分するとx=0 つまりy=1を代入しないといけないのではと思って余計わからなくなった　というところです

回答No.2

stomachman

ANo.1へのコメントについて。

> f(x)=F'(x)としてF(0)=0ってだけの話ですか？

　そりゃ一体どういう話ですかね。第一、
　　f(x)=F'(x)
というだけでは、F(0)が0とは決まらんでしょう。

　ともあれANo.1にある通り、まずf(x)=xの不定積分と、x=0～1での定積分をキッチリやれるのかどうか。もし、そんなもんできる、ということであれば、ご質問の式にx=0,1,2などを丁寧に代入してみりゃ解決。Σが苦手なら、"…"の形に書いてみると良いですよ。

お礼

積分に関してはできます。　積分の仕方がおかしいのかもしれません　y=1-xとして積分したのですがそこがおかしいのでしょうか

回答No.1

stomachman

そこまで出来ていながら…

> 積分なので何かしらｘの範囲を決めないといけない

全然、そんな話ではありません。

まず、f(x)=x のx=0～1の定積分を計算できます？これができるのなら、分からないはずはないと思うのだけれども。

ご質問にお書きの、積分して得られた式に、x=0, x=1、それからたとえば x=-1, x=2 などを代入してそれぞれ書き下してみれば理解できるのではないかなあ。

お礼

f(x)=F'(x)としてF(0)=0ってだけの話ですか？