数学(1)の問題

質問

下記の問題の解き方がわかりません。教えてください。
問）赤球４個、青球４個、黄球１個と黒の碁石２個の合計１１個を一列に並べる。球が続けて５個以上現れない並べ方は（　）×（　）通り？
　解き方の解説を教えてください。。。

回答No.4

azumi-openheart · ベストアンサー

碁石の並べ方は、１０通りになります。からの続き。

次に、碁石Ａ、Ｂを取り除いた、９個の球の並び方について考えます。９個の球を、赤１、赤２、赤３、赤４、青１、青２、青３、青４、黄１と独立した球と考えると、

並べ方は、９！＝９＊８＊７＊６＊５＊４＊３＊２＊１通り。

しかし、この問題では赤１～赤４、青１～青４の並び方は問わないので、赤１～赤４の並び方の４！通りと、青１～青４の並び方の４！通りで割ります。

したがって、球の並べ方は、

　　９！ ９＊８＊７＊６＊５＊４＊３＊２＊１
-------- ＝ ----------------------------------
4!＊4!　　　　４＊３＊２＊１＊４＊３＊２＊１

　　　　　　＝　７＊６＊５＊３＊１
　　　　　　＝　６３０（通り）

よって、求める答えは、
１０＊６３０＝６３００（通り）

あれ、cubicsさんと答え違った…

お礼

ありがとうございました。
すっかり頭の体操になりました。

回答No.7

cubics

夜中に急に、あれ、変だと考え直して、計算してみたら、
azumi-openheart さんが、正解出されてました。遅かったか。
ちゃんと、順列・組み合わせで考えれば、後半は、９個並べて、４個、４個が重複するから、簡単に
９Ｐ９を４Ｃ４と４Ｃ４で割ればいいんじゃないですか。^^;;)
ということで、azumi-openheart さんの書いたように
９！／（４！＊４！）＝６３０

ということで、１０＊６３０＝６３００通りということで、おあとがよろしいようで。
うぅん、すっかり頭がさびついているなぁ。（笑）

お礼

初めての質問でドキドキしていました。
ありがとうございました。

回答No.6

cubics

またまた間違い
＞２＊（３＊２＊３Ｃ１＋４Ｃ１）＋１Ｃ５）＝７０

２＊（３＊２＊３Ｃ１＋４Ｃ１）＋５Ｃ１）＝７０

「Ｃ」は、組み合わせの記号５Ｃ１＝５ですね。

なお、上記の式は、最初に出した球に対して残りの球の出し方を場合分けしては加えていって同じ組み合わせ数を同じ組み合わせとして単純化していった計算式です。

回答No.5

cubics

すいません。列挙にしたんで、数え違いました。
６４にしたとこは７０です。
ですから、１０＊９＊７０＝６３００通りで
同じ答えです。

数式で検算したら、うちの取り出し方だと、結局
２＊（３＊２＊３Ｃ１＋４Ｃ１）＋１Ｃ５）＝７０
でした。

順列組み合わせが、わやになってて、単純化できず、
変なことしてました。
誤＞赤赤青青と来たら、赤赤青青の順列５通り
これが、
正＞赤赤青青と来たら、赤赤青青の順列６通り
なんで、６個数え忘れてました。（笑）

回答No.3

azumi-openheart

石の位置を左から(1)、(2)、…、(10)、(11)とし、
左側の碁石を碁石Ａ、右側の碁石を碁石Ｂとします。

すると、碁石Ａの位置は、(2)、(3)、(4)、(5)のいずれかになります。

(1)に置くと、碁石Ｂをどこにおいても碁石Ｂの左右の側のどちらかが球が５以上並びます。（図中の＊は、赤球、青球、黄球のいずれかです。）
　(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)
　 Ａ ＊ ＊ ＊ ＊ Ｂ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊
　 Ａ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ Ｂ ＊ ＊ ＊ ＊
(6)、(7)、(8)、(9)、(10)、(11)に置くと、碁石Ａの左側は球が５以上並びます。
　(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)
　 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ Ａ ＊ ＊ Ｂ ＊ ＊

同様に、碁石Ｂの位置は、(7)、(8)、(9)、(10)のいずれかになります。

さらに、碁石Ａと碁石Ｂの間の球の数が５以上にならないように並べたいわけですから、

　(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)
　 ＊ Ａ ＊ ＊ ＊ ＊ Ｂ ＊ ＊ ＊ ＊
　 ＊ ＊ Ａ ＊ ＊ ＊ Ｂ ＊ ＊ ＊ ＊
　 ＊ ＊ Ａ ＊ ＊ ＊ ＊ Ｂ ＊ ＊ ＊
　 ＊ ＊ ＊ Ａ ＊ ＊ Ｂ ＊ ＊ ＊ ＊
　 ＊ ＊ ＊ Ａ ＊ ＊ ＊ Ｂ ＊ ＊ ＊
　＊ ＊ ＊ Ａ ＊ ＊ ＊ ＊ Ｂ ＊ ＊
　＊ ＊ ＊ ＊ Ａ ＊ Ｂ ＊ ＊ ＊ ＊
　＊ ＊ ＊ ＊ Ａ ＊ ＊ Ｂ ＊ ＊ ＊
　 ＊ ＊ ＊ ＊ Ａ ＊ ＊ ＊ Ｂ ＊ ＊
　 ＊ ＊ ＊ ＊ Ａ ＊ ＊ ＊ ＊ Ｂ ＊

と碁石の並べ方は、１０通りになります。

次に、碁石Ａ、Ｂを取り除いた、９個の球の並び方について考えます。９個の球を、赤１、赤２、赤３、赤４、青１、青２、青３、青４、黄１と独立した球と考えると、

並べ方は、９！＝９＊８＊７＊６＊５＊４＊３＊２＊１通り。

しかし、この問題では赤１～赤４、青１～青４の並び方は問わないので、赤１～赤４の並び方の４！通りと、青１～青４の並び方の４！通りで割ります。

したがって、球の並べ方は、

　　９！ ９＊８＊７＊６＊５＊４＊３＊２＊１
-------- ＝ ----------------------------------
4!＊4!　　　　４＊３＊２＊１＊４＊３＊２＊１

　　　　　　＝　７＊６＊５＊３＊１
　　　　　　＝　６３０（通り）

よって、求める答えは、
１０＊６３０＝６３００（通り）

あれ、cubicsさんと答え違った…

回答No.2

cubics

碁石の入れ方と、球の並べ方と、分けて考えましょう。
球が５個以上現れない並べ方になるように碁石を入れるには、碁石を入れる場所を「－」で表わせば、
１－４－４、２－４－３、２－３－４、３－４－２、
３－３－３、３－２－４、４－４－１、４－３－２、
４－２－３、４－１－４
の１０通りしかありませんね。

そこで、この９か所の球の置き場所に入れる球の色の順列を考えます。
赤球４個、青球４個、黄球１個なので、
黄球１個の場所は９通りあります。

のこりの８か所に赤球４個、青球４個が来る順列を考えます。
初めに来る色が２種類、
次に来る色が２種類、
赤赤赤赤青青青青は１通り
赤赤赤青と来たら、青青青の各前後に赤がはいる４通り
赤赤青赤と来ても、青青青の各前後に赤がはいる４通り
赤赤青青と来たら、赤赤青青の順列５通り
赤青赤赤と来ても、青青青の各前後に赤がはいる４通り
赤青赤青と来ても、赤赤青青の順列５通り
赤青青赤と来ても、赤赤青青の順列５通り
赤青青青と来たら、赤赤赤の各前後に青がはいる４通り
青赤赤赤と来ても、青青青の各前後に赤がはいる４通り
青赤赤青と来ても、赤赤青青の順列５通り
青赤青赤と来ても、赤赤青青の順列５通り
青赤青青と来たら、赤赤赤の各前後に青がはいる４通り
青青赤赤と来ても、赤赤青青の順列５通り
青青赤青と来たら、赤赤赤の各前後に青がはいる４通り
青青青赤と来たら、赤赤赤の各前後に青がはいる４通り
青青青青赤赤赤赤は１通り
以上の順列は、６４通り
もっと順列、組み合わせの計算式で学術的にできるとは思いますが、めんどうなので、列挙しました。

ということで、以上３つの組み合わせの１０＊９＊６４で
５７６０通りの並べ方があります。

回答No.1

azumi-openheart

石の位置を左から(1)、(2)、…、(10)、(11)とし、
左側の碁石を碁石Ａ、右側の碁石を碁石Ｂとします。

すると、碁石Ａの位置は、(2)、(3)、(4)、(5)のいずれかになります。

(1)に置くと、碁石Ｂをどこにおいても碁石Ｂの左右の側のどちらかが球が５以上並びます。（図中の＊は、赤球、青球、黄球のいずれかです。）
　(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)
　Ａ＊＊＊＊Ｂ＊＊＊＊＊
　Ａ＊＊＊＊＊Ｂ＊＊＊＊
(6)、(7)、(8)、(9)、(10)、(11)に置くと、碁石Ａの左側は球が５以上並びます。
　(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)
　＊＊＊＊＊Ａ＊＊Ｂ＊＊

同様に、碁石Ｂの位置は、(7)、(8)、(9)、(10)のいずれかになります。

さらに、碁石Ａと碁石Ｂの間の球の数が５以上にならないように並べたいわけですから、

　(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)
　＊Ａ＊＊＊＊Ｂ＊＊＊＊
　＊＊Ａ＊＊＊Ｂ＊＊＊＊
　＊＊Ａ＊＊＊＊Ｂ＊＊＊
　＊＊＊Ａ＊＊Ｂ＊＊＊＊
　＊＊＊Ａ＊＊＊Ｂ＊＊＊
　＊＊＊Ａ＊＊＊＊Ｂ＊＊
　＊＊＊＊Ａ＊Ｂ＊＊＊＊
　＊＊＊＊Ａ＊＊Ｂ＊＊＊
　＊＊＊＊Ａ＊＊＊Ｂ＊＊
　＊＊＊＊Ａ＊＊＊＊Ｂ＊

の１０通りになります。