速さ,距離,時間の問題,悩んでいます教えて下さい！

質問

１辺が10cmの正三角形ABCにおいて、辺AB上を動くPと辺BC上を動くQがあります。Pは、点Aから点Bに向って毎分1ｃｍの速さで動き、Qは、点Bから点Cに向ってPの2倍の速さで動きます。PQ間の距離が最少になるのは、スタートしてから何分後ですか。
答えは20/7ですが　答えの導き方がわかりませんので教えてくだい。

回答No.2

noname#224896

距離は，大小で表されるので，“最少”ではなく，“最小”ですね＾＾
これは，漢字変換ミスなので，
以下，ＰＱ間の距離が最小となる時は，
スタート時から何分後かということで解きます．

====================================================
ＰがＢに，およびＱがＣに達したら，
折り返すことや別の辺に移動することは一切記載がないので，
ＰがＢに，およびＱがＣに達する前のＰＱ間の最小値を考える．

この条件下では，ＰＱは距離は，ＰＱ＞０とである．

PQが最大になるときは，
PQ^2が最大になるときと時間は同じである．

ｘ分後（xは，ｘ＞０を満たす実数）の状態を考える．
ｘ分後のＡＰの長さは，ｘｃｍ
つまり，ＰＢの長さは，（１０－ｘ）ｃｍ
そして，そのとき，ＢＱの長さは，２ｘ ｃｍ

よって，余弦定理より，
ＰＱ^2　＝　ＢＱ^2　＋ＰＢ^2 －２ＢＱ・ＰＢcos∠Ｂ
∠Ｂ＝６０°より，
cos∠Ｂ=1/2

ＰＢ＝１０－ｘ，　ＢＱ＝２ｘより，

ＰＱ^2　＝　ＢＱ^2　＋ＰＢ^2 －ＢＱ・ＰＢ　（∵　cos∠Ｂ=1/2）
＝　（１０－ｘ）＾２　＋（２ｘ）＾２　－　（１０－ｘ）（２ｘ）
＝　１００　－２０ｘ　＋　ｘ＾２　＋４ｘ＾２　－　２０ｘ＋２ｘ＾２
＝　７ｘ＾２　－４０ｘ　＋１００
＝　７（ｘ＾２－４０ｘ／７）　＋１００
＝　７（ｘ－２０／７）＾２　－　４００／７　＋１００
＝　７（ｘ－２０／７）＾２　＋　３００／７
つまり，ｘ＝２０／７のとき，ＰＱ＾２が最小値３００／７をとる．
ＰＱ＾２が最小値をとるとき，ＰＱ（ＰＱ＞０）も最小値をとることから，
ＰＱが最小値をとるときは，ｘ＝２０／７である．

即ち，
以下，ＰＱ間の距離が最小となる時は，
スタート時から（２０／７）分後である．　．．．（解答）

お礼

早々に教えていただきありがとうございました。
お礼申し上げます。

回答No.1

Quarks

いろいろな解き方が考えられますが、ベクトルを使った解法を紹介します。
ベクトルを成分表示してみます。図形的な条件を、ベクトル（の成分で）表現するのです。

以下では、点Ａから点Ｂに向かうベクトルを　<AB>　のように表記します。また、A→B方向に　x軸（原点は頂点Ａに取ります）、紙面に沿って"上向き"に　y軸を取ります。
題意から
<AP>=(t,0)
<BQ>=(-2t・cos60°,2t・sin60°）
<AB>=(10,0)
また
<AQ>=<AB>+<BQ>
も成り立ちます。以上より
<PQ>=<AQ>-<AP>
=(10,0)+(-2t・cos60°,2t・sin60°)-(t,0)
=(10-2t,t・√3)

|<PQ>|が注目している長さですが
|<PQ>|>0
ですから
|<PQ>|が最小値を取るときには、|<PQ>|^2も最小値を取ることでしょう。そこで
|PQ|^2＝f(t)とすると
f(t)=(10-2t)^2＋3t^2
=7t^2-40t+100
となります。
tの値域は、QがCに到達するまでの時間と見て
0<=t<=5
この値域で、f(t)の最小値を求めれば、答tが求まります。また、そのときの√(f(t))より、PQの最小距離も求まります。

お礼

早々に教えていただきありがとうございました。
お礼申し上げます。