証明、どこが間違ってますか？

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問題文はこれ

図のように、平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ上に、ＡＥ＝ＣＦとなる2点Ｅ、Ｆをとります。
この時、四角形ＢＦＤＥは平行四辺形であることを証明しなさい。

自分の回答はこう

三角形ＡＢＥ≡三角形ＣＤＦを証明したとして…(1)
四角形ＢＦＤＥにおいて、(1)よりＢＥ＝ＤＦ…(2)
(1)から、仮定よりＢＥ//ＤＦ…(3)
(2)、(3)より、一組の対辺が並行で、長さも等しいので、四角形ＢＦＤＥは平行四辺形である

自分としては平行四辺形でＡＢ//ＤＣ、ＡＥ＝ＣＦ、∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦなのだから、どのようなケースでもＢＥ//ＤＦになると思っています

そうならないケースを教えて下さい
何故論破されるのか分かりません

よろしくお願いします

回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

これは正しいか、正しくないかが問題ではないのです。

2本の線が平行であることを証明するには、その2本に交わる直線を引き、同位角が等しいか錯角が等しいかを示さないといけません。
結果として平行になっているからいいではないか、ではないのです。きちんと公理もしくは無条件に使用してよい定理にまで落とし込んで初めて証明したことになるのです。こんなの自明だろ、なんて証明でよければ中学・高校で出てくる幾何の証明問題など"自明"のひとことで終わってしまいます。(この問題もどうみたって自明としか思えない)

今回の場合、BE,DFの2本の線に交わる直線がないため、同位角もしくは錯角に当たる角はありません。同位角、錯角に当たる関係の角を作るには、DFをABを交わるまで延長すればよいでしょう。そのようにした上で同位角・錯角の関係を用いて平行であることを証明すればよいでしょう。

追記
現在の教科書でどのような定理が使われているか知らないので使用できるかは知りませんが、次の定理が使用できるのであればそっちを使ったほうが簡単に証明できます。

"2本の対角線の交点がそれぞれの中点である場合、その四角形は平行四辺形である。逆もまた真。"

上記の定理を使うには対角線BDを引いてみればよいでしょう。

お礼

ありがとうございました
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回答No.4

nag0720

＞平行四辺形でＡＢ//ＤＣ、ＡＥ＝ＣＦ、∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦなのだから、どのようなケースでもＢＥ//ＤＦになると思っています
＞そうならないケースを教えて下さい

この文章だけでは、Ｆの位置については何にも言っていません。

∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ　となりうるＦは２ヶ所あります。
片方はＢＥ//ＤＦですが、もう一方はそうではありません。

お礼

ありがとうございました
非常に助かりました

回答No.2

o120441222

お、なつかしいですね。
自分の記憶のひもをほどきながら考え込みました。ですから見当違いでしたらゴメンナサイ。

>そうならないケースを教えて下さい

そういうケースはないと思いますが、具体的に平行証明の条件を引き合いに出してないからペケなんじゃないでしょうか。

同位角か錯角が等しいことを証明しなければいけませんので、∠ＢＥＦ＝∠ＤＦＥが等しく錯覚によりＢＥ//ＦＤ。ではどうでしょうか？

お礼

ありがとうございました
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回答No.1

DJ-Potato

アプローチは基本的に正しいと思います。

ただ、(3)が証明不十分と取られているのでしょうかね。
ちなみに仮定は、AE=CF、と、四角形ABCDは平行四辺形、だけなので、
(1)から、仮定より、では(3)にはならない、と言われているのかもしれません。
この条件ならBE//DFは自明と言ってもいい気がしますが・・・

△ABE≡△CDF　・・・(1)
△ACE≡△CBF　・・・(2)
(1)、(2)よりBE=DFかつCE=BF
向かい合う２組の辺の長さがそれぞれ等しいので、四角形BFDEは平行四辺形

でいいのではないでしょうか。
テストでは、自明なことでも、まだ習ってない公式を証明なく使うと×もらいます。

お礼

ありがとうございました
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