分数の問題、数字パズル

質問

c/ab＋f/de＋i/gh=1のaからiに1から9の数字を1個ずつ入れる。
という問題の解き方を教えて下さい

ab、de、ghはそれぞれa x b、d x e、g x hを示しています。

回答No.3

Mr_Holland

ANo.2です。
　書き忘れました。追記です。
　分子が5,7の分数が既約分数であることに注目するなどすれば、もっと効率的に求められるかも知れません。
　他の優秀な回答者さん達が美しい解答を寄せてくれるかも知れませんので、しばらく閉めないでくださると嬉しいです。

回答No.2

Mr_Holland

クイズの答えは　5/(8×9)+7/(2×4)+1/(3×6)　とこれの数字を並び替えたもの(48通り)だけになります。

(1)　1～9の素因数を見ると、素数5と7はそれぞれ１個ずつしかありません。そのため5や7が分母に来ると3つの分数を通分したときの分子はそれぞれ5や7の倍数になりません。従って、5と7は分子に来ます。

(2)　分子が5と7の分数の分母を考えます。これらの分母が同時に12以下のときこの2つの分数だけで1以上になってしまいます。従って、分子が5,7の分数の分母の片方は13以上でなければなりません。

(3)　(2)の条件を満たす分母は(2,8),(2,9),(3,6),(3,8),(3,9),(4,6),(4,8),(4,9),(6,8),(6,9),(8,9)の11通りです。これらの分子は5か7なので既約分数です。この2数の積は、残りの5つの数で作られる2つの分母の最小公倍数でなければなりません。そのため(2,8),(3,9),(4,8),(6,8),(6,9)は除外され、(2,9),(3,6),(3,8),(4,6),(4,9),(8,9)の6通りが残ります。

(4)　あとはそれぞれのケースで2数の積が残りの2つの分母の最小公倍数となるように選んで和が1になるか確かめていきます。

(2,6)のとき　残りの分母の片方が3×6で他方は4か8が来る。　和が1にならない。
(3,6)のとき　残りの分母の片方に9が来て他方に2か4か8が来る。　和が1にならない。
(3,8)のとき　残りの分母の片方が4×6になるか、または片方が2×4で他方に6か9が来る。　和が1にならない。
(4,6)のとき　残りの分母の片方に8が来て、他方に3か9が来る。　和が1にならない。
(4,9)のとき　残りの分母の片方が3×6で他方に2か8が来る。　和が1にならない。
(8,9)のとき　残りの分母の片方が3×6で他方が2×4になる。　上記答えのときだけ和が1になる。

回答No.1

asuncion

試行錯誤する。
最大でも９の階乗通り試せば、解が見つかります。