このポアソン分布の練習問題が解けません。
[Q]Messages arrive at a telegraph office according to a Poisson process with rate λ=3 per hour.
What is the probability that no message arrives between times 8:00 and 10:00 in the morning?
(1) What is the expected value of the number of messages that arrive between 8:00 and 10:00 in the morning?
(2) What is the probability density function of the arrival time of the third message after 2 pm?
「[問]メッセージが一時間当たりλ=3のPoisson分布に従って交換局に届く。
午前8:00から午前10:00までにメッセージが届かない確率は幾らか?
(1) 午前8:00から午前10:00までに届くメッセージ数の期待値は幾らか?
(2) 午後2時以降に3番目のメッセージが届く確率密度関数は何か?」
という問題に難儀してます。
『[例題]
B先生の携帯には1日平均2件のメールが入ってくる。この1日に入ってくるメールの件数を確率変数Xとし,これが平均μ=2のポアソン分布P_o(2)に従うものとする。
(i) P_o(2)の確率関数P_p(x)を示せ。(ii) 1日に入ってくるメールが3件以上となる確率を求めよ
[(i)の解]
ポアソン分布P_o(μ)の確率関数P_p(x)はP_p(x)=e^-μ・μ^x/x!より
μ=2のポアソン分布P_o(2)の確率変数P_p(x)はP_p(x)=e^-2・2^x/x!
[(ii)の解]
1日のメール件数Xが3以上となる確率P(X≧3)は,全確率1から余事象の確率P(X≧2)を引いて求める。
P(X≧2)はX=0,1,2となる時の確率の総和より,
求める確率P(X≧3)は
P(X≧3)=1-P(X≧2)=1-(P_p(0)+P_p(1)+P_p(2))=1-(e^-2・2^0/0!+e^-2・2^1/1!+e^-2・2^2/2!)
=1-e^-2(1+2+2)=1-5/e^2』
を参考にしてみました。"一時間当たりλ=3"が"1日平均2件"に相当すると考えまして
ポアソン分布P_o(μ)の確率関数P_p(x)はP_p(x)=e^-λ・λ^x/x!より
λ=3のポアソン分布P_o(3)の確率変数P_p(x)はP_p(x)=e^-3・3^x/x! …(1)
1時間に何回かのメッセージが届く確率は1
1時間に0回のメッセージが届く確率は(1)からP(X≦0)=P_p(0)=e^-3・3^0/0!=1/e^3
だから午前8:00から午前10:00までにメッセージが届かない確率は
P(X≦0)・P(X≦0)=1/e^3・1/e^3=1/e^6 …(2)
午前0時から午前8時までに何回かのメッセージが届く確率は1・1・1・1・1・1・1・1 …(3)
よって(2)と(3)から1・1・1・1・1・1・1・1・1/e^3・1/e^3=1/e^6
[(1)の解]
午前8:00から午前10:00までにメッセージが0回の確率は1/e^3・1/e^3
午前8:00から午前10:00までにメッセージが1回の確率は3/e^3・3/e^3
午前8:00から午前10:00までにメッセージが2回の確率は9/e^3・9/e^3
…
なので
0(1/e^3・1/e^3)+1(3/e^3・3/e^3)+2(9/e^3・9/e^3)+…
=Σ[n=0..∞]n・3^n/n!・1/e^3=1/e^3Σ[n=0..∞]3^n/(n-1)!
[(2)の解]
午前0時から午後1時までに1件/hずつ計2件のメッセージが届く確率は(13C1)・3/e^3・×(13C1)・3/e^3
午前0時から午後1時までに2件/hのメッセージが届く確率は(13C1)・9/e^3
そして午後2時に3件目のメッセージが届く確率は3/e^3
以上の事から
(13C1)・3/e^3・×(13C1)・3/e^3+(13C1)・9/e^3+3/e^3
ここから確率密度関数はどのようにして求めれるのでしょうか?
お礼
丁寧にありがとうございました！