微分方程式の問題がわかりません。

質問

完全混合型タンク中に50gの塩が溶解された水500L塩水がある。ある時間から、そのタンク中に、純水が毎分5L流入する。また、同量の塩水をタンクの外に流出する。その時、タンク内の塩水濃度の変化に対して微分方程式を立てよ。という問題がわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.3

okormazd · ベストアンサー

混合も考えなければならないとすると、えらく難しくなって、質問の条件では解けないので、
ここでは、流入水とタンクの塩水が一瞬で混ざって一定の塩水濃度になって流出する、とする。
普通には解説しない丁寧な解説をした。

単位も入れておいたので単位も含めて計算すること。

dt:短い時間[min]
V:タンクの容量[L]
c:タンクの塩水濃度[g/L]
v:流出流量[L/min]
-dc:dt時間に減少する塩水濃度[g/L](減少するのは負にします)
とする。

1.
dt時間に流出する水量
v[L/min]×dt[min]=vdt[L]
2.
タンクの塩水中に含まれる塩の量
c[g/L]×V[L]=cV[g]
3.
dt時間に流出する塩の量
c[g/L]×vdt[L]=cvdt[g]
4.
dt時間後のタンクの塩の量=2.-3.
cV[g]-cvdt[g]
5.
dt時間後のタンクの塩水の濃度
(cV[g]-cvdt[g])/V[L]
6.
dt時間に減少する塩水濃度　-dc[g/L]
-dc[g/L]=c[g/L]-(cV[g]-cvdt[g])/V[L]=cvdt/V[g/L]
すなわち、
dc/dt=-cv/V
これが求める微分方程式です。

dc/c=-v/Vdt

とすれば、簡単に解ける。v/V=5[L/min]/500[L/min]=0.01なので、

dc/c=0.01dt

でしょう。

初期条件c0=50[g]/500[L]=0.01[g/L]を入れて解けば、
c=0.01exp(-0.01t)[g/L]
かな。

お礼

とてもわかりやす解説で助かりました
本当にありがとうございました

回答No.2

alice_44

つい先日、このサイトで同じ問題を見かけ、
解法の要点を簡潔に書いておきました。
http://okwave.jp/qa/q6688675.html

回答No.1

noname#154783

タンク内の塩水の体積をVとすると，単位時間あたりに排出した塩水と同体積の水が流入するので，Vは一定である：
V = 500 [L]

タンク内の塩の質量をm [g]とし，非常に短い時間dt [min]の間のmの変化dm [g]を考える．

このdtの間に排出される塩水の体積をdv [L]とすると，排出される塩の質量はm dv/Vである．
したがって，
dm = -m dv/V. …(1)

ところで，濃度c [g/L]は，
c = m/V …(2)
と表されるので，
dc = dm/V …(3)
であり，(1)の両辺をVで割り算して(2)，(3)を用いると，
dm/V = -m(dv/V)/V
dc = -c dv/V.
さらにこの式をdtで割り算すると
dc/dt = -c(dv/dt)/V. …(4)

ここで，
j = dv/dt = 5 [L/min]
は一定なので，(4)は次のようになる：

dc/dt = -(j/V) c = -0.01c.

初期条件はタンクの塩水の排出・純水の流入が始まった時刻をt = 0 [min]とすると，この時点でタンク内の塩の質量は
m0 = 50 [g]
なので濃度は
c(0) = m0/V = 50 [g]/500 [L] = 0.1 [g/L].

以上，まとめると，濃度c [g/L]が満たすべき微分方程式は
dc/dt = -0.01c
であり，初期条件は
c(0) = 0.1 [g/L].