数学を教えてください！

質問

図のように、平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＢＤに、Ａ、Ｃからそれぞれ垂線ＡＥ、ＣＦをひくとき、四角形ＡＥＣＦは平行四辺形であることを証明しなさい。

教えてください！

回答No.3

noname#189285 · ベストアンサー

線ABと線CDは平行なので角ABE＝角CDF、かつ角AEB＝角CFD(どちらも90°)、かつ長さが線AB＝線CDより、三角形ABEと三角形CDFは合同です。・・・(1)

線BCと線DAは平行なので角EBC＝角FDA、かつ線の長さに関して線BC＝線DA、かつ上記(1)より線EB＝線FDより、三角形EBCとFDAは合同です。・・・(2)

線の長さに関して上記(1)より線AE＝線CF、上記(2)より線EC＝線FAなので、四角形AECFは『2組の対辺はそれぞれ等しい』ので平行四辺形です。

以上です。

回答No.2

tomokoich

四角形AECFにおいて
∠FEC=∠AFE（平行線の錯角）
∠CFE=∠AEF=90°
∠AEC=∠AEF+∠FEC
∠AFC=∠AFE+∠CFE
よって∠AEC=∠AFC---(1)
∠FAE=∠FCE（平行線の錯角）---(2)
(1)(2)より２組の向かい合う角が等しいので四角形AECFは平行四辺形

回答No.1

KEIS050162

△AEF　と　△CFEの合同を証明して、それから四角形AECFの対角が相等しいことから並行四辺形であると導いてみる方法はいかがでしょうか。

△AEF　と　△DEFの合同の証明

△ABD　と　△CDBの面積は、並行四辺形の対角線で分けられた図形なので、その面積は等しい。
△ABD　と　△CDBは底辺を共有しているので、面積が等しいことから、高さAEとCFは等しい。（１）

△AEF　と　△DEFにおいて、
底辺は共通なので、EF　＝　EF
（１）より、AE　＝　CF
これらの辺に挟まれた　∠AEF　と　∠CFEは直角。

二辺挟角　が相当なので、合同。

あとは、ここから並行四辺形の対角が等しいことを導き出すだけです。

ご参考に。